Escolha cinco dos seguintes itens e resolva:
Determine o volume do sólido limitado por
e
. Determine e esboce a região de integração no plano.
Determine o volume do sólido limitado por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
, e também pede que eu determine e esboce a região de integração no plano
.
Informações dadas:
- A superfície superior (ou a superfície relevante em
) é a reta/planar . - As duas curvas que limitam lateralmente a região projetada no plano
são (uma parábola com eixo paralelo a ) e , i.e. (uma reta). - A região projetada no plano
é a interseção entre as duas curvas citadas.
O que vou calcular: o volume do sólido que fica entre a superfície
e o plano
sobre a região
no plano
limitada por
e
. (Observação: como não foi dada outra superfície em
, o procedimento convencional é calcular o volume sob
acima do plano
sobre a região
.)
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida):
- O volume
de um sólido que está sob a superfície e acima da região plana é dado por
Aqui
. A variável
representa um elemento de área no plano
(por exemplo
ou
, dependendo da ordem de integração).
- Para aplicar essa fórmula preciso descrever a região
de forma que eu consiga escrever limites de integração simples (retas ou funções).
Passo 3
Determinar a região
no plano
(encontrar os limites de integração).
- As curvas que limitam
são (parábola) e (reta). - Encontro os pontos de interseção resolvendo
:
logo
ou
.
- Para cada
entre e a ordem em é
pois para
tem-se
.
- Conclusão: a região
é
Esboço verbal do região: a parábola
tem vértice em
e abre para a direita; a reta
é uma linha de inclinação
cruzando o eixo
em
. Elas se encontram nos pontos
e
. A região
é a “fita” entre a parábola (à esquerda) e a reta (à direita), com
indo de
a
.
Passo 4
Montar a integral dupla para o volume usando
(ordem
depois
):
Vamos calcular a integral interna primeiro. Antiderivada em
de
é
. Portanto
Agora simplifico:
e
. Assim a expressão fica
Passo 5
Agora integro em
de
a
:
Calculo a primitiva:
Avalio nos limites:
Calculo em
:
Calculo em
:
Portanto