Escolha cinco dos seguintes itens e resolva:
Determine o volume do sólido limitado por z=2 x+1, \quad x=y^{2} e x-y=2. Determine e esboce a região de integração no plano.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=2x+1, x=y^{2} e x-y=2, e também pede que eu determine e esboce a região de integração no plano xy.
Informações dadas:
  • A superfície superior (ou a superfície relevante em z) é a reta/planar z=2x+1.
  • As duas curvas que limitam lateralmente a região projetada no plano xy são x=y^{2} (uma parábola com eixo paralelo a x) e x-y=2, i.e. x=y+2 (uma reta).
  • A região projetada no plano xy é a interseção entre as duas curvas citadas.
O que vou calcular: o volume do sólido que fica entre a superfície z=2x+1 e o plano z=0 sobre a região D no plano xy limitada por x=y^{2} e x=y+2. (Observação: como não foi dada outra superfície em z, o procedimento convencional é calcular o volume sob z=2x+1 acima do plano z=0 sobre a região D.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (aula rápida):
  • O volume V de um sólido que está sob a superfície z=f(x,y) e acima da região plana D é dado por
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2x+1. A variável dA representa um elemento de área no plano xy (por exemplo dA=dx\,dy ou dy\,dx, dependendo da ordem de integração).
  • Para aplicar essa fórmula preciso descrever a região D de forma que eu consiga escrever limites de integração simples (retas ou funções).

Passo 3

Determinar a região D no plano xy (encontrar os limites de integração).
  • As curvas que limitam D são x=y^{2} (parábola) e x=y+2 (reta).
  • Encontro os pontos de interseção resolvendo y^{2}=y+2:
y^{2}-y-2=0 \quad\Rightarrow\quad (y-2)(y+1)=0,
logo y=-1 ou y=2.
  • Para cada y entre -1 e 2 a ordem em x é
x \text{ varia de } x=y^{2}\quad\text{(à esquerda)}\quad\text{até}\quad x=y+2\quad\text{(à direita)},àéà
pois para -1\le y\le 2 tem-se y^{2}\le y+2.
  • Conclusão: a região D é
D=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.
Esboço verbal do região: a parábola x=y^{2} tem vértice em (0,0) e abre para a direita; a reta x=y+2 é uma linha de inclinação 1 cruzando o eixo x em 2. Elas se encontram nos pontos (1,-1) e (4,2). A região D é a “fita” entre a parábola (à esquerda) e a reta (à direita), com y indo de -1 a 2.

Passo 4

Montar a integral dupla para o volume usando dA=dx\,dy (ordem x depois y):
V=\iint_{D} (2x+1)\,dA =\int_{y=-1}^{2}\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx\,dy.
Vamos calcular a integral interna primeiro. Antiderivada em x de 2x+1 é x^{2}+x. Portanto
\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx =\bigl[x^{2}+x\bigr]_{x=y^{2}}^{x=y+2} =(y+2)^{2}+(y+2)-(y^{2})^{2}-y^{2}.
Agora simplifico:
(y+2)^{2}+(y+2)=y^{2}+4y+4+y+2=y^{2}+5y+6,
e (y^{2})^{2}+y^{2}=y^{4}+y^{2}. Assim a expressão fica
(y^{2}+5y+6)-(y^{4}+y^{2})=-y^{4}+5y+6.

Passo 5

Agora integro em y de -1 a 2:
V=\int_{-1}^{2} \bigl(-y^{4}+5y+6\bigr)\,dy.
Calculo a primitiva:
\int \bigl(-y^{4}+5y+6\bigr)\,dy = -\frac{y^{5}}{5} + \frac{5y^{2}}{2} + 6y + C.
Avalio nos limites:
V=\left[-\frac{y^{5}}{5} + \frac{5y^{2}}{2} + 6y\right]_{y=-1}^{y=2}.
Calculo em y=2:
-\frac{2^{5}}{5} + \frac{5\cdot 2^{2}}{2} + 6\cdot 2 = -\frac{32}{5} + \frac{20}{2} + 12 = -\frac{32}{5} + 10 + 12 = -\frac{32}{5} + 22 = \frac{78}{5}.
Calculo em y=-1:
-\frac{(-1)^{5}}{5} + \frac{5\cdot (-1)^{2}}{2} + 6(-1) = -\frac{-1}{5} + \frac{5}{2} - 6 = \frac{1}{5} + \frac{5}{2} - 6 = -\frac{33}{10}.
Portanto
V = \frac{78}{5} - \left(-\frac{33}{10}\right) = \frac{156}{10} + \frac{33}{10} = \frac{189}{10}.

Resposta

\dfrac{189}{10}

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