Seja o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cos y+y z\right) \vec{i}+\left(x z-e^{x} \operatorname{sen} y\right) \vec{j}+(x y+z) \vec{k}.
a) O campo \vec{F} é conservativo? Se sim, encontre sua função potencial.
b) Calcule o trabalho realizado por \vec{F} ao longo da curva \gamma(t)=\left(t^{2}-1, t^{2}+1, t^{2}\right),-1 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(e^{x}\cos y + y z\bigr)\,\vec{i} + \bigl(x z - e^{x}\operatorname{sen}y\bigr)\,\vec{j} + \bigl(x y + z\bigr)\,\vec{k}
e faz duas perguntas:
  • (a) \vec{F} é conservativo? Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial.
  • (b) Calcular o trabalho de \vec{F} ao longo da curva \gamma(t) = (t^{2}-1,\;t^{2}+1,\;t^{2}), para -1\le t\le1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes do campo: P(x,y,z)=e^{x}\cos y + y z, Q(x,y,z)=x z - e^{x}\operatorname{sen}y, R(x,y,z)=x y + z.
  • A curva \gamma tem início em t=-1 e fim em t=1; observe que as coordenadas usam t^{2}, então os pontos inicial e final podem coincidir (vai aparecer depois).
    A resolução começa verificando se o campo é conservativo (ou seja, se existe potencial) e, se sim, encontra esse potencial; depois usa o potencial para calcular o trabalho ao longo de \gamma.

Passo 2

O que significa campo conservativo e como verificar rapidamente:
  • Um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo num domínio simplesmente conexo de \mathbb{R}^{3} se e somente se o rotacional dele for o vetor nulo:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
  • O rotacional é dado por
\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Vamos calcular cada uma dessas componentes usando as expressões de P,Q,R. Se o rotacional for \vec{0} e o domínio for todo \mathbb{R}^{3} (que é simplesmente conexo), existe função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 3

Calcular a primeira componente do rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}. Como R(x,y,z)=x y + z,
\frac{\partial R}{\partial y}=x.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}. Como Q(x,y,z)=x z - e^{x}\operatorname{sen}y,
\frac{\partial Q}{\partial z}=x.
  • Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=x-x=0.

Passo 4

Calcular a segunda componente do rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}. Como P(x,y,z)=e^{x}\cos y + y z,
\frac{\partial P}{\partial z}=y.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}. Como R(x,y,z)=x y + z,
\frac{\partial R}{\partial x}=y.
  • Portanto a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=y-y=0.

Passo 5

Calcular a terceira componente do rotacional:
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}. Como Q(x,y,z)=x z - e^{x}\operatorname{sen}y,
\frac{\partial Q}{\partial x}=z - e^{x}\operatorname{sen}y.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}. Como P(x,y,z)=e^{x}\cos y + y z,
\frac{\partial P}{\partial y}=-e^{x}\operatorname{sen}y + z.
  • Portanto a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(z - e^{x}\operatorname{sen}y)-(-e^{x}\operatorname{sen}y + z)=0.

Passo 6

Conclusão sobre conservatividade:
  • O rotacional tem todas as componentes zero; isto é,
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
  • O campo está definido em todo \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo. Logo existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que
\nabla\varphi=\vec{F},
ou seja
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=R.

Passo 7

Encontrar a função potencial integrando parcialmente:
  • Integramos prvo em relação a x usando \dfrac{\partial\varphi}{\partial x}=P=e^{x}\cos y + y z. Assim
\varphi(x,y,z)=\int\bigl(e^{x}\cos y + y z\bigr)\,dx = e^{x}\cos y + x y z + C(y,z),
onde C(y,z) é uma função arbitrária que pode depender de y e z (já que a derivada em x de C é zero).

Passo 8

Determinar C(y,z) impondo \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q:
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y z\bigr) + \frac{\partial C}{\partial y} = -e^{x}\operatorname{sen}y + x z + C_{y}(y,z).
  • Igualando a \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q=x z - e^{x}\operatorname{sen}y obtemos
- e^{x}\operatorname{sen}y + x z + C_{y}(y,z) = x z - e^{x}\operatorname{sen}y,
logo C_{y}(y,z)=0. Assim C não depende de y, ou seja C(y,z)=D(z) para alguma função D de z apenas.

Passo 9

Determinar D(z) impondo \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}=R:
  • A expressão atual para \varphi é
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + x y z + D(z).
  • Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} = x y + D'(z).
  • Igualando a R(x,y,z)=x y + z obtemos
x y + D'(z) = x y + z \quad\Rightarrow\quad D'(z)=z.
  • Integrando D'(z)=z D(z)=\dfrac{z^{2}}{2} + C_{0}, onde C_{0} é constante arbitrária (podemos escolher C_{0}=0 sem perda de generalidade).
  • Assim uma função potencial é
\varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + x y z + \frac{z^{2}}{2} + C_{0}.
Vou tomar C_{0}=0 para ficar mais simples.

Passo 10

Calcular o trabalho ao longo de \gamma usando a função potencial:
  • Para um campo conservativo, o trabalho de \vec{F} ao longo de uma curva \gamma de t=a até t=b é
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi\bigl(\gamma(b)\bigr)-\varphi\bigl(\gamma(a)\bigr).
  • A curva é \gamma(t)=(t^{2}-1,\;t^{2}+1,\;t^{2}). Avaliando nos extremos:
    • Para t=1: \gamma(1)=(0,2,1).
    • Para t=-1: \gamma(-1)=(0,2,1).
      Ou seja, a curva começa e termina no mesmo ponto (a imagem da curva entre -1 e 1 é um caminho cujo início e fim coincidem).
  • Como os pontos inicial e final são iguais, \varphi(\gamma(1))=\varphi(\gamma(-1)), portanto
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(\gamma(1))-\varphi(\gamma(-1))=0.
  • Se quiser ver numericamente: \varphi(0,2,1)=e^{0}\cos 2 + 0\cdot2\cdot1 + \dfrac{1^{2}}{2}=\cos 2 + \tfrac{1}{2}; o mesmo valor aparece nos dois extremos, diferença zero.

Resposta

(a) Sim. Uma função potencial é \varphi(x,y,z)=e^{x}\cos y + x y z + \dfrac{z^{2}}{2}.
(b) O trabalho ao longo de \gamma é 0.

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