Seja o campo vetorial
.
a) O campo
é conservativo? Se sim, encontre sua função potencial.
b) Calcule o trabalho realizado por
ao longo da curva
.
a) O campo
b) Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e faz duas perguntas:
- (a)
é conservativo? Em caso afirmativo, encontrar uma função potencial. - (b) Calcular o trabalho de
ao longo da curva , para .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Componentes do campo:
, , . - A curva
tem início em e fim em ; observe que as coordenadas usam , então os pontos inicial e final podem coincidir (vai aparecer depois).
A resolução começa verificando se o campo é conservativo (ou seja, se existe potencial) e, se sim, encontra esse potencial; depois usa o potencial para calcular o trabalho ao longo de.
Passo 2
O que significa campo conservativo e como verificar rapidamente:
- Um campo vetorial
é conservativo num domínio simplesmente conexo de se e somente se o rotacional dele for o vetor nulo:
- O rotacional é dado por
Vamos calcular cada uma dessas componentes usando as expressões de
. Se o rotacional for
e o domínio for todo
(que é simplesmente conexo), existe função potencial
tal que
.
Passo 3
Calcular a primeira componente do rotacional:
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
- Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Calcular a segunda componente do rotacional:
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
- Portanto a segunda componente é
Passo 5
Calcular a terceira componente do rotacional:
- Calcular
. Como ,
- Calcular
. Como ,
- Portanto a terceira componente é
Passo 6
Conclusão sobre conservatividade:
- O rotacional tem todas as componentes zero; isto é,
- O campo está definido em todo
, que é simplesmente conexo. Logo existe uma função potencial tal que
ou seja
Passo 7
Encontrar a função potencial integrando parcialmente:
- Integramos prvo em relação a
usando . Assim
onde
é uma função arbitrária que pode depender de
e
(já que a derivada em
de
é zero).
Passo 8
Determinar
impondo
:
- Calcular
a partir da expressão encontrada:
- Igualando a
obtemos
logo
. Assim
não depende de
, ou seja
para alguma função
de
apenas.
Passo 9
Determinar
impondo
:
- A expressão atual para
é
- Calcular
:
- Igualando a
obtemos
- Integrando
dá , onde é constante arbitrária (podemos escolher sem perda de generalidade). - Assim uma função potencial é
Vou tomar
para ficar mais simples.
Passo 10
Calcular o trabalho ao longo de
usando a função potencial:
- Para um campo conservativo, o trabalho de
ao longo de uma curva de até é
- A curva é
. Avaliando nos extremos: - Para
: . - Para
: .
Ou seja, a curva começa e termina no mesmo ponto (a imagem da curva entree é um caminho cujo início e fim coincidem).
- Para
- Como os pontos inicial e final são iguais,
, portanto
- Se quiser ver numericamente:
; o mesmo valor aparece nos dois extremos, diferença zero.
Resposta
(a) Sim. Uma função potencial é
.
(b) O trabalho ao longo de
é
.