Escolha coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular o volume
da região recortada da esfera sólida \rho \leq a pelos semi-planos \theta=0 e \theta=\frac{\pi}{6} no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o volume da parte da esfera sólida \rho\le a que está no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) e entre os semi-planos definidos por \theta=0 e \theta=\pi/6. Vamos usar coordenadas esféricas, cujo volume elementar é \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, os limites são:\r
0 \le \rho \le a,\quad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}.\r
Aqui \varphi é o ângulo a partir do eixo z (cobrindo o primeiro octante em z\ge0) e \theta é o ângulo no plano xy.

Passo 3

Escrevemos o volume como integral tripla:\r
V = \int_{\theta=0}^{\pi/6} \int_{\varphi=0}^{\pi/2} \int_{\rho=0}^{a} \rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:\r
\int_{0}^{a} \rho^{2}\,d\rho = \frac{a^{3}}{3}.\r
A integral fica
V = \frac{a^{3}}{3} \int_{0}^{\pi/6} \!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi.\r
Em seguida,
\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi = 1, \qquad \int_{0}^{\pi/6}d\theta = \frac{\pi}{6}.\r
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V = \frac{a^{3}}{3}\cdot 1\cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi a^{3}}{18}.

Resposta

V = \frac{\pi a^{3}}{18}.

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