Escolha coordenadas cilíndricas ou esféricas para calcular o volume
da região recortada da esfera sólida
pelos semi-planos
e
no primeiro octante.
da região recortada da esfera sólida
Passo 1
O enunciado pede o volume da parte da esfera sólida
que está no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e entre os semi-planos definidos por
e
. Vamos usar coordenadas esféricas, cujo volume elementar é
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, os limites são:\r
Aqui
é o ângulo a partir do eixo
(cobrindo o primeiro octante em
) e
é o ângulo no plano
.
Passo 3
Escrevemos o volume como integral tripla:\r
Passo 4
Primeiro integramos em
:\r
A integral fica
Em seguida,
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