Calcule as integrais abaixo transformando para coordenadas esféricas.
Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de f(x, y, z) sobre a região dada.
\int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{2-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}^{2+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{-2}^{2}\int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\int_{2-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}^{2+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}\,dz\,dy\,dx
da função f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}. Vamos usar coordenadas esféricas centradas na origem, pois a região de integração é uma esfera de raio 2 centrada em (0,0,2).

Passo 2

Reconhecemos a região como
\{(x,y,z)\mid (x)^{2}+(y)^{2}+(z-2)^{2}\le4\},
uma esfera de raio 2 centrada em (0,0,2). Em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi) essas coordenadas satisfazem
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
e a equação da esfera vira
\rho^{2}-4\rho\cos\varphi\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le\rho\le4\cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi/2] (para \cos\varphi\ge0) e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Em esféricas a função e o elemento de volume ficam
(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}=\rho^{3}, \qquad dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{3}\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{5}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em \rho:
\int_{0}^{4\cos\varphi}\rho^{5}\sin\varphi\,d\rho =\sin\varphi\cdot\frac{(4\cos\varphi)^{6}}{6} =\frac{4096}{6}\cos^{6}\varphi\,\sin\varphi.

Passo 5

Agora separe as integrais em \theta e \varphi:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\cos^{6}\varphi\,\sin\varphi\,d\varphi =\int_{1}^{0}u^{6}(-du)\quad(u=\cos\varphi) =\int_{0}^{1}u^{6}du =\frac{1}{7}.
Multiplicando tudo,
2\pi\cdot\frac{4096}{6}\cdot\frac{1}{7} =\frac{4096\pi}{21}.

Resposta

\displaystyle \frac{4096\pi}{21}

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