Calcule as integrais abaixo transformando para coordenadas esféricas.
Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de
sobre a região dada.
Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
da função
. Vamos usar coordenadas esféricas centradas na origem, pois a região de integração é uma esfera de raio
centrada em
.
Passo 2
Reconhecemos a região como
uma esfera de raio
centrada em
. Em coordenadas esféricas
essas coordenadas satisfazem
e a equação da esfera vira
com
(para
) e
.
Passo 3
Em esféricas a função e o elemento de volume ficam
Logo a integral torna-se
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora separe as integrais em
e
:
Multiplicando tudo,