Use coordenadas esféricas para calcular a integral tripla de
sobre a região dada.
(a)
(b)
(c)
(d)
região delimitada pelas superfícies
e
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais triplas usando coordenadas esféricas. Em todas elas vamos usar
– as relações
– as relações
– o elemento de volume
– e determinar cuidadosamente os limites de
,
e
conforme cada região.
Passo 2
(a)
na bola de raio 1, com
.
- Em esféricas
. - A região é
, , . - A integral fica
- Reúna fatores:
. - Calcule
- Multiplicando dá
Passo 3
(b)
na região
.
- A desigualdade vira
, e é preciso . -
. - A integral é
-
. - Logo dá
Passo 4
(c)
no interior da esfera de raio 4 com
.
- Em esféricas
. - A condição
é . Como pela esfera, precisamos . -
, . - A integral é
-
. - Logo
Passo 5
(d)
na região entre
(cone de semiângulo
),
(cone de semiângulo
),
e a esfera de raio 2.
e a esfera de raio 2.
- Em esféricas
. - A esfera dá
. Os cones fixam . . - A integral é
-
. - Então
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)