Escolha dois itens, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
(b) x=t^{2}-4, \quad y=1-t, \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá as parametrizações
x=t^{2}-4,\qquad y=1-t,\qquad t\in\mathbb{R}.
O que é pedido:
  • Esboçar a curva dada por esses paramétricos.
  • Determinar a equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro t).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável parâmetro é t e toma todos os valores reais.
  • Para cada t obtém-se um ponto (x,y) pelo par \big(t^{2}-4,\;1-t\big).

Passo 2

Ideia para eliminar o parâmetro (passo-a-passo didático):
  • Sempre que houver dois pares paramétricos, normalmente resolvemos uma das equações para t e substituímos na outra.
  • Aqui a equação \,y=1-t\, é simples para isolar t. Faço isso explicitamente:
y=1-t \quad\Longrightarrow\quad t=1-y.
Expliquei cada passo: isolei t passando o t para o outro lado e trocando o sinal.

Passo 3

Substituo \,t=1-y\, na expressão de x:
x=t^{2}-4=(1-y)^{2}-4.
Agora desenvolvo o quadrado e simplifico explicando cada termo:
(1-y)^{2}=1-2y+y^{2},
portanto
x=1-2y+y^{2}-4=y^{2}-2y-3.

Passo 4

Coloco a equação numa forma mais reconhecível (completando o quadrado) para identificar vértice e orientação:
x=y^{2}-2y-3=(y-1)^{2}-1-3=(y-1)^{2}-4.
Logo, uma forma elegante da equação cartesiana é
x=(y-1)^{2}-4.
Outra forma equivalente, muitas vezes usada, é
(y-1)^{2}=x+4.

Passo 5

Interpretação geométrica e como esboçar (passo-a-passo para você desenhar na prova sem calculadora):
  • A equação (y-1)^{2}=x+4 é a equação de uma parábola com a variável quadrática em y. Isso significa que a parábola tem o eixo paralelo ao eixo x (eixo horizontal).
  • Vértice: ocorre quando o quadrado é zero, ou seja y=1. Substituindo em x x=-4. Portanto o vértice é o ponto \big(-4,\,1\big).
  • A parábola abre para a direita porque o coeficiente do termo quadrático em y (quando isolamos x) é positivo (coeficiente de (y-1)^{2} é +1).
  • Domínio e imagem úteis para esboço:
    • Como (y-1)^{2}\ge 0, temos x+4\ge 0\Rightarrow x\ge -4. Ou seja, x nunca é menor que -4.
    • y pode assumir qualquer valor real.
  • Pontos práticos para desenhar (calculei substituindo alguns valores de t — isso é útil para marcar no esboço):
    • t=0\Rightarrow (x,y)=(-4,1) (vértice).
    • t=1\Rightarrow (x,y)=(-3,0).
    • t=-1\Rightarrow (x,y)=(-3,2).
    • t=2\Rightarrow (x,y)=(0,-1).
    • t=-2\Rightarrow (x,y)=(0,3).
    • Esses pontos mostram a simetria em torno de y=1 e ajudam a traçar a curva abrindo para a direita.
  • Orientação (sentido do parâmetro t): como y=1-t, quando t aumenta y diminui. Observando exemplos:
    • Para t\to -\infty tem-se y\to +\infty e x\to +\infty.
    • Para t crescendo até 0 a trajetória vai da direita-superior em direção ao vértice (-4,1).
    • Para t>0 a trajetória sai do vértice e vai para a direita-inferior quando t\to+\infty.
  • Como esboçar: desenhe eixos, marque o vértice (-4,1), trace a reta horizontal y=1 como eixo de simetria, marque os pontos dados e una-os com a curva típica de parábola abrindo para a direita. Indique setas que mostram t crescendo: vindo da direita-alta, passando pelo vértice em t=0, indo para a direita-baixa.

Passo 6

Resumo dos resultados úteis para a prova (fórmulas e características que decoram bem):
  • Equação cartesiana final: (y-1)^{2}=x+4 ou x=(y-1)^{2}-4.
  • Vértice: \big(-4,\,1\big).
  • Eixo de simetria: reta horizontal y=1.
  • Abertura: para a direita (porque coeficiente do quadrado é positivo).
  • Domínio em x: x\ge -4.
  • Orientação conforme aumento de t: vem da direita-superior, passa pelo vértice em t=0 e vai para a direita-inferior.

Resposta

x=(y-1)^{2}-4 \quad (equação cartesiana, equival. (y-1)^{2}=x+4; vértice em (-4,1), eixo y=1, parábola abrindo para a direita)

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