Escolha dois itens, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá as parametrizações
O que é pedido:
- Esboçar a curva dada por esses paramétricos.
- Determinar a equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro
).
Informações relevantes fornecidas:
- A variável parâmetro é
e toma todos os valores reais. - Para cada
obtém-se um ponto pelo par .
Passo 2
Ideia para eliminar o parâmetro (passo-a-passo didático):
- Sempre que houver dois pares paramétricos, normalmente resolvemos uma das equações para
e substituímos na outra. - Aqui a equação
é simples para isolar . Faço isso explicitamente:
Expliquei cada passo: isolei
passando o
para o outro lado e trocando o sinal.
Passo 3
Substituo
na expressão de
:
Agora desenvolvo o quadrado e simplifico explicando cada termo:
portanto
Passo 4
Coloco a equação numa forma mais reconhecível (completando o quadrado) para identificar vértice e orientação:
Logo, uma forma elegante da equação cartesiana é
Outra forma equivalente, muitas vezes usada, é
Passo 5
Interpretação geométrica e como esboçar (passo-a-passo para você desenhar na prova sem calculadora):
- A equação
é a equação de uma parábola com a variável quadrática em . Isso significa que a parábola tem o eixo paralelo ao eixo (eixo horizontal). - Vértice: ocorre quando o quadrado é zero, ou seja
. Substituindo em dá . Portanto o vértice é o ponto . - A parábola abre para a direita porque o coeficiente do termo quadrático em
(quando isolamos ) é positivo (coeficiente de é ). - Domínio e imagem úteis para esboço:
- Como
, temos . Ou seja, nunca é menor que . -
pode assumir qualquer valor real.
- Como
- Pontos práticos para desenhar (calculei substituindo alguns valores de
— isso é útil para marcar no esboço): -
(vértice). -
. -
. -
. -
. - Esses pontos mostram a simetria em torno de
e ajudam a traçar a curva abrindo para a direita.
-
- Orientação (sentido do parâmetro
): como , quando aumenta diminui. Observando exemplos: - Para
tem-se e . - Para
crescendo até a trajetória vai da direita-superior em direção ao vértice . - Para
a trajetória sai do vértice e vai para a direita-inferior quando .
- Para
- Como esboçar: desenhe eixos, marque o vértice
, trace a reta horizontal como eixo de simetria, marque os pontos dados e una-os com a curva típica de parábola abrindo para a direita. Indique setas que mostram crescendo: vindo da direita-alta, passando pelo vértice em , indo para a direita-baixa.
Passo 6
Resumo dos resultados úteis para a prova (fórmulas e características que decoram bem):
- Equação cartesiana final:
ou . - Vértice:
. - Eixo de simetria: reta horizontal
. - Abertura: para a direita (porque coeficiente do quadrado é positivo).
- Domínio em
: . - Orientação conforme aumento de
: vem da direita-superior, passa pelo vértice em e vai para a direita-inferior.