Seja
definida por
. Sabendo que a função é bijetiva neste domínio, determine a expressão analítica da sua função inversa
.
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações (vou copiar os dados tal como foram fornecidos):
- A função é
definida por . - É informado que
é bijetiva nesse domínio.
O que o problema pede: - Determinar a expressão analítica da função inversa
, ou seja, encontrar uma fórmula que dá o original em função do valor da imagem (normalmente escrevemos essa fórmula trocando a variável final para , ficando ).
Passo 2
Como se encontra a inversa em linhas gerais (receita de prova):
- Para achar a inversa de uma função bijetiva, coloca-se
e resolve-se essa equação para em termos de . - Depois troca-se o papel das variáveis (ou seja, substitui-se
por ) para escrever a fórmula de .
Importante: quando a equação trouxer uma raiz quadrada com sinal, a restrição do domínio original serve para escolher qual sinal é o correto (isso garante bijetividade). Vou seguir essa receita passo a passo.
Passo 3
Escrever
e manipular a expressão para isolar a parte quadrática em forma de quadrado perfeito.
Completa-se o quadrado em
. Para isso observe:
Portanto a equação fica
Passo 4
Isolar
e extrair a raiz quadrada:
Como o membro direito deve ser não negativo, isso exige
— consistente com o contradomínio informado
.
Agora tomando raiz quadrada em ambos os lados:
Agora tomando raiz quadrada em ambos os lados:
Logo as soluções formais são
Neste ponto precisamos usar a restrição do domínio original de
: como
foi definida com domínio
, temos sempre
. Entre as duas opções
e
, a que garante
para todos os
é a opção com o sinal
. (A opção com sinal
produz valores
, exceto no caso limite quando
, e portanto violaria a condição de domínio para valores maiores de
.)
Passo 5
Concluir a fórmula da inversa e ajustar a variável para a forma padrão
.
- Substituindo
por para escrever a função inversa no formato habitual obtemos
com domínio
(porque dentro da raiz precisamos de
).
Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): se então
. Tomando
de um valor
,
Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): se
o que confirma que a fórmula está correta.