Seja f:\left[2,+\infty\left[\rightarrow\left[1,+\infty\left[\right.\right.\right.\right. definida por f(x)=x^{2}-4 x+5. Sabendo que a função é bijetiva neste domínio, determine a expressão analítica da sua função inversa f^{-1}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações (vou copiar os dados tal como foram fornecidos):
  • A função é f:\left[2,+\infty\left[\rightarrow\left[1,+\infty\left[\right.\right.\right.\right. definida por f(x)=x^{2}-4x+5.
  • É informado que f é bijetiva nesse domínio.
    O que o problema pede:
  • Determinar a expressão analítica da função inversa f^{-1}, ou seja, encontrar uma fórmula que dá o x original em função do valor y da imagem (normalmente escrevemos essa fórmula trocando a variável final para x, ficando f^{-1}(x)=\dots).

Passo 2

Como se encontra a inversa em linhas gerais (receita de prova):
  • Para achar a inversa de uma função bijetiva, coloca-se y=f(x) e resolve-se essa equação para x em termos de y.
  • Depois troca-se o papel das variáveis (ou seja, substitui-se y por x) para escrever a fórmula de f^{-1}.
    Importante: quando a equação trouxer uma raiz quadrada com sinal \pm, a restrição do domínio original serve para escolher qual sinal é o correto (isso garante bijetividade). Vou seguir essa receita passo a passo.

Passo 3

Escrever y=f(x) e manipular a expressão para isolar a parte quadrática em forma de quadrado perfeito.
y = x^{2}-4x+5.
Completa-se o quadrado em x^{2}-4x+5. Para isso observe:
x^{2}-4x+5 = x^{2}-4x+4+1 = (x-2)^{2}+1.
Portanto a equação fica
y = (x-2)^{2}+1.

Passo 4

Isolar (x-2)^{2} e extrair a raiz quadrada:
(x-2)^{2} = y-1.
Como o membro direito deve ser não negativo, isso exige y\ge 1 — consistente com o contradomínio informado \left[1,+\infty\left[\right.\right..
Agora tomando raiz quadrada em ambos os lados:
x-2 = \pm\sqrt{y-1}.
Logo as soluções formais são
x = 2 \pm\sqrt{y-1}.
Neste ponto precisamos usar a restrição do domínio original de f: como f foi definida com domínio \left[2,+\infty\left[\right.\right., temos sempre x\ge 2. Entre as duas opções 2+\sqrt{y-1} e 2-\sqrt{y-1}, a que garante x\ge 2 para todos os y\ge 1 é a opção com o sinal +. (A opção com sinal - produz valores \le 2, exceto no caso limite quando \sqrt{y-1}=0, e portanto violaria a condição de domínio para valores maiores de y.)

Passo 5

Concluir a fórmula da inversa e ajustar a variável para a forma padrão f^{-1}(x).
  • Substituindo y por x para escrever a função inversa no formato habitual obtemos
f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1},
com domínio \left[1,+\infty\left[\right.\right. (porque dentro da raiz precisamos de x-1\ge 0).
Verificação rápida (para ficar tranquilo na prova): se x\ge 2 então f(x)=(x-2)^{2}+1\ge 1. Tomando f^{-1} de um valor t\ge 1,
f\bigl(f^{-1}(t)\bigr)=f\bigl(2+\sqrt{t-1}\bigr)=\bigl((2+\sqrt{t-1})-2\bigr)^{2}+1=(\sqrt{t-1})^{2}+1=t-1+1=t,
o que confirma que a fórmula está correta.

Resposta

f^{-1}(x)=2+\sqrt{x-1},\quad x\in\left[1,+\infty\left[\right.\right.

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