Escolha dois itens, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
(c) x=\operatorname{sen} t, \quad y=\cos 2 t, \quad t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x=\sin t,\qquad y=\cos 2t,\qquad t\in[0,2\pi],
e pede duas coisas: esboçar a curva no plano xy e determinar a sua equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro t). As informações relevantes são:
  • x é o seno de t, logo \sin t toma valores em [-1,1].
  • y é o cosseno de 2t, logo \cos 2t toma valores em [-1,1].
  • O parâmetro percorre todo o intervalo [0,2\pi], então veremos como a curva é percorrida conforme t varia.

Passo 2

A ideia para eliminar o parâmetro é usar identidades trigonométricas que relacionem \sin t e \cos 2t. A identidade mais direta é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
\cos 2t = 1 - 2\sin^2 t.
Explicando essa identidade de forma simples: parte-se da identidade pitagórica \sin^2 t+\cos^2 t=1. Usando \cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t e substituindo \cos^2 t=1-\sin^2 t obtém-se \cos 2t=(1-\sin^2 t)-\sin^2 t=1-2\sin^2 t. Aqui \sin^2 t significa (\sin t)^2.

Passo 3

Agora use a identidade substituindo \sin t por x (pois x=\sin t). Assim:
y=\cos 2t = 1-2\sin^2 t = 1-2x^2.
Portanto a equação cartesiana da curva é
y = 1 - 2x^2.

Passo 4

Determine domínio e imagem (intervalos possíveis) decorrentes do parâmetro:
  • Como x=\sin t com t\in[0,2\pi], tem-se -1\le x\le 1. Logo a curva cartesiana está restringida ao segmento da parábola para x\in[-1,1].
  • Substituindo os extremos: para x=\pm1 obtemos y=1-2(1)= -1. Para x=0 temos y=1. Assim a imagem em y é [-1,1], consistente com \cos 2t.
Resumo geométrico: a curva é uma parábola com vértice em (0,1), concavidade voltada para baixo, com interseções com a reta y=-1 em x=\pm1. O trecho relevante é o arco da parábola para x\in[-1,1].

Passo 5

Esboço e comportamento paramétrico (como a curva é percorrida quando t varia):
  • Para t=0: (x,y)=(0,1) (vértice superior).
  • Para t indo de 0 a \tfrac{\pi}{2}: x=\sin t cresce de 0 a 1 enquanto y=\cos2t decresce de 1 a -1. Portanto o ponto vai do vértice (0,1) até (1,-1) pela “metade direita” da parábola.
  • Para t de \tfrac{\pi}{2} a \pi: x volta de 1 a 0 e y sobe de -1 a 1; isso leva o ponto de volta de (1,-1) para (0,1) pela mesma metade direita, mas em sentido contrário. Assim essa metade da parábola é percorrida duas vezes (ida e volta) enquanto t corre de 0 a \pi.
  • Para t de \pi a 2\pi ocorre um comportamento análogo na metade esquerda: o segmento de x=-1 a x=0 e de volta, fazendo a metade esquerda ser também percorrida duas vezes.
  • Conclusão prática: geometricamente a curva é o segmento da parábola y=1-2x^2 para x\in[-1,1], com simetria em relação ao eixo y. Quanto à parametrização, cada ponto interior (exceto os extremos) é atingido mais de uma vez no intervalo t\in[0,2\pi]. O ponto inicial (para t=0) é (0,1).

Passo 6

Dicas rápidas para fazer isso na prova:
  • Sempre procure identidades que liguem funções trigonométricas com ângulos múltiplos (ex.: \cos 2t, \sin 2t) às funções simples \sin t ou \cos t. Aqui a substituição foi direta porque apareceu \sin t e \cos 2t.
  • Depois de eliminar o parâmetro, identifique domínio (valores possíveis de x dados pelo parâmetro) para saber se a curva inteira da equação cartesiana aparece ou só um trecho.
  • Para esboçar, calcule vértice, interceptos e alguns pontos-chave (aqui (0,1), (\pm1,-1)) e desenhe a parábola restringida a x\in[-1,1].

Resposta

Equação cartesiana: y=1-2x^2, com domínio x\in[-1,1].
Esboço: parábola com vértice em (0,1), concavidade para baixo, interceptos em (\pm1,-1); o trecho relevante é o arco dessa parábola para x\in[-1,1], percorrido (pela parametrização dada) começando em (0,1) e com cada metade sendo traçada duas vezes.

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