Escolha dois itens, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as parametrizações
e pede duas coisas: esboçar a curva no plano
e determinar a sua equação cartesiana (ou seja, eliminar o parâmetro
). As informações relevantes são:
-
é o seno de , logo toma valores em . -
é o cosseno de , logo toma valores em . - O parâmetro percorre todo o intervalo
, então veremos como a curva é percorrida conforme varia.
Passo 2
A ideia para eliminar o parâmetro é usar identidades trigonométricas que relacionem
e
. A identidade mais direta é a fórmula do cosseno do ângulo duplo:
Explicando essa identidade de forma simples: parte-se da identidade pitagórica
. Usando
e substituindo
obtém-se
. Aqui
significa
.
Passo 3
Agora use a identidade substituindo
por
(pois
). Assim:
Portanto a equação cartesiana da curva é
Passo 4
Determine domínio e imagem (intervalos possíveis) decorrentes do parâmetro:
- Como
com , tem-se . Logo a curva cartesiana está restringida ao segmento da parábola para . - Substituindo os extremos: para
obtemos . Para temos . Assim a imagem em é , consistente com .
Resumo geométrico: a curva é uma parábola com vértice em
, concavidade voltada para baixo, com interseções com a reta
em
. O trecho relevante é o arco da parábola para
.
Passo 5
Esboço e comportamento paramétrico (como a curva é percorrida quando
varia):
- Para
: (vértice superior). - Para
indo de a : cresce de a enquanto decresce de a . Portanto o ponto vai do vértice até pela “metade direita” da parábola. - Para
de a : volta de a e sobe de a ; isso leva o ponto de volta de para pela mesma metade direita, mas em sentido contrário. Assim essa metade da parábola é percorrida duas vezes (ida e volta) enquanto corre de a . - Para
de a ocorre um comportamento análogo na metade esquerda: o segmento de a e de volta, fazendo a metade esquerda ser também percorrida duas vezes. - Conclusão prática: geometricamente a curva é o segmento da parábola
para , com simetria em relação ao eixo . Quanto à parametrização, cada ponto interior (exceto os extremos) é atingido mais de uma vez no intervalo . O ponto inicial (para ) é .
Passo 6
Dicas rápidas para fazer isso na prova:
- Sempre procure identidades que liguem funções trigonométricas com ângulos múltiplos (ex.:
, ) às funções simples ou . Aqui a substituição foi direta porque apareceu e . - Depois de eliminar o parâmetro, identifique domínio (valores possíveis de
dados pelo parâmetro) para saber se a curva inteira da equação cartesiana aparece ou só um trecho. - Para esboçar, calcule vértice, interceptos e alguns pontos-chave (aqui
, ) e desenhe a parábola restringida a .
Resposta
Equação cartesiana:
, com domínio
.
Esboço: parábola com vértice em , concavidade para baixo, interceptos em
; o trecho relevante é o arco dessa parábola para
, percorrido (pela parametrização dada) começando em
e com cada metade sendo traçada duas vezes.
Esboço: parábola com vértice em