Sejam as funções
e
, com
. Determine a expressão da função inversa da função composta
.
Passo 1
O enunciado nos dá as funções e pede a inversa da composta:
-
. -
, com . - A função composta é
. O objetivo é determinar a expressão da função inversa .
Passo 2
Calcular explicitamente a composta
substituindo
em
:
Passo 3
Usar propriedades de logaritmo e exponencial para simplificar
. Lembrando duas propriedades úteis:
-
para . -
para .
Aplicando-as:
Portanto, para
,
Passo 4
Determinar domínio e imagem de
e verificar invertibilidade. O domínio original é
. Como
com
, tem-se:
-
para todo . - À medida que
, . À medida que , . Logo a imagem (contradomínio relevante) é . - A derivada
para , então é estritamente crescente em e, portanto, bijetiva de em . Assim existe .
Passo 5
Encontrar
resolvendo a equação
para
. Começar com
Multiplicar por
:
Tomando a raiz quadrada e lembrando que
(logo escolhemos a raiz positiva),
Portanto, a inversa, escrita como função de uma variável (substituindo
por
no papel do argumento da inversa), é
Passo 6
(Verificação alternativa usando inversas individuais) Para checar: calcula-se
e
.
- Se
então e . Assim . - Se
então . Assim .
Pelo fato geral, tem-se
o que coincide com o resultado obtido anteriormente.