Sejam as funções f(x)=e^{2 x-1} e g(x)=\ln (x), com x>0. Determine a expressão da função inversa da função composta h(x)=(f \circ g)(x).

Passo 1

O enunciado nos dá as funções e pede a inversa da composta:
  • f(x)=e^{2x-1}.
  • g(x)=\ln(x), com x>0.
  • A função composta é h(x)=(f\circ g)(x). O objetivo é determinar a expressão da função inversa h^{-1}.

Passo 2

Calcular explicitamente a composta h(x)=f(g(x)) substituindo g(x) em f:
h(x)=f(g(x))=e^{2\,[g(x)]-1}=e^{2\ln(x)-1}.

Passo 3

Usar propriedades de logaritmo e exponencial para simplificar h(x). Lembrando duas propriedades úteis:
  • \,2\ln(x)=\ln(x^2) para x>0.
  • e^{\ln(A)}=A para A>0.
Aplicando-as:
h(x)=e^{\ln(x^2)-1}=e^{-1}\,e^{\ln(x^2)}=\frac{1}{e}\,x^2.
Portanto, para x>0,
h(x)=\frac{x^2}{e}.

Passo 4

Determinar domínio e imagem de h e verificar invertibilidade. O domínio original é x>0. Como h(x)=\dfrac{x^2}{e} com x>0, tem-se:
  • h(x)>0 para todo x>0.
  • À medida que x\to0^+, h(x)\to0^+. À medida que x\to+\infty, h(x)\to+\infty. Logo a imagem (contradomínio relevante) é (0,\infty).
  • A derivada \,h'(x)=\dfrac{2x}{e}>0 para x>0, então h é estritamente crescente em x>0 e, portanto, bijetiva de (0,\infty) em (0,\infty). Assim existe h^{-1}.

Passo 5

Encontrar h^{-1} resolvendo a equação y=h(x) para x. Começar com
y=\frac{x^2}{e}.
Multiplicar por e:
e y = x^2.
Tomando a raiz quadrada e lembrando que x>0 (logo escolhemos a raiz positiva),
x=\sqrt{e y}.
Portanto, a inversa, escrita como função de uma variável (substituindo y por x no papel do argumento da inversa), é
h^{-1}(x)=\sqrt{e x},\qquad x>0.

Passo 6

(Verificação alternativa usando inversas individuais) Para checar: calcula-se f^{-1} e g^{-1}.
  • Se y=e^{2x-1} então \ln y = 2x-1 e x=(\ln y +1)/2. Assim f^{-1}(y)=(\ln y +1)/2.
  • Se y=\ln x então x=e^y. Assim g^{-1}(y)=e^y.
    Pelo fato geral (f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}, tem-se
h^{-1}(y)=g^{-1}\big(f^{-1}(y)\big)=\exp\!\left(\frac{\ln y +1}{2}\right)=\sqrt{e y},
o que coincide com o resultado obtido anteriormente.

Resposta

h^{-1}(x)=\sqrt{e\,x},\quad x>0

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