Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é a composta de uma função trigonométrica inversa com a função polinomial
. - O domínio natural da função (para valores reais) é o conjunto de
tais que , isto é .
A partir daqui vamos achar a derivada passo a passo.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a regra da cadeia porque a função é composta. A regra da cadeia é o caminho direto quando temos algo do tipo
: derivamos a função externa em relação a sua entrada
e multiplicamos pela derivada da entrada
. Não há outro método mais simples aqui.
Passo 3
Lembrete (mini-aula) sobre a derivada de
. Seja
. Isso significa
. Diferenciando ambos os lados em relação a
usando derivada implícita:
Isolando
e lembrando que
(escolhendo o sinal positivo para
quando apropriado no intervalo principal), obtemos
Aqui
é a variável de entrada da função
. Em palavras: a derivada da função externa
em relação à sua entrada
é
.
Passo 4
Lembrete (mini-aula) sobre a regra da cadeia. Se tivermos uma função composta
, então a derivada é
Ou seja, calcula-se a derivada da função externa
em seu argumento
, e multiplica-se pelo crescimento da função interna
. Isso é direto e essencial para composições.
Passo 5
Identificar as partes da composição no nosso problema:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Agora calculamos a derivada da função interna:
Aqui usei a regra de potência:
.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: pela Passo 3 temos
. Substituindo
e multiplicando por
, obtemos
Simplificando
, temos
Passo 7
Observações finais sobre domínio e pontos especiais:
- A fórmula encontrada para
é válida quando o denominador existe e é diferente de zero, isto é quando , ou seja . Assim, a derivada na forma explícita acima vale para . - Nos pontos
a função está definida ( existe), mas a derivada não existe porque a raiz no denominador zera. - Para
a função não está definida em números reais, então não faz sentido falar de derivada real ali.