Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
f(x)=\operatorname{arccos} \left(x^{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=\operatorname{arccos}\!\bigl(x^{3}\bigr)\, e pede para calcular a derivada \,f'(x)\,.
Informações relevantes que temos:
  • A função é a composta de uma função trigonométrica inversa com a função polinomial x^{3}.
  • O domínio natural da função (para valores reais) é o conjunto de x tais que \,x^{3}\in[-1,1], isto é \,x\in[-1,1].
    A partir daqui vamos achar a derivada passo a passo.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a regra da cadeia porque a função é composta. A regra da cadeia é o caminho direto quando temos algo do tipo g\bigl(u(x)\bigr): derivamos a função externa em relação a sua entrada u e multiplicamos pela derivada da entrada u(x). Não há outro método mais simples aqui.

Passo 3

Lembrete (mini-aula) sobre a derivada de \operatorname{arccos}. Seja y=\operatorname{arccos}(u). Isso significa \cos(y)=u. Diferenciando ambos os lados em relação a u usando derivada implícita:
-\sin(y)\,\frac{dy}{du}=1.
Isolando \dfrac{dy}{du} e lembrando que \sin(y)=\sqrt{1-\cos^{2}(y)}=\sqrt{1-u^{2}} (escolhendo o sinal positivo para \sin(y) quando apropriado no intervalo principal), obtemos
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arccos}(u)\bigr)=\frac{dy}{du}=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}.
Aqui u é a variável de entrada da função \operatorname{arccos}. Em palavras: a derivada da função externa \operatorname{arccos} em relação à sua entrada u é -1/\sqrt{1-u^{2}}.

Passo 4

Lembrete (mini-aula) sobre a regra da cadeia. Se tivermos uma função composta \,h(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
h'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Ou seja, calcula-se a derivada da função externa g em seu argumento u, e multiplica-se pelo crescimento da função interna u(x). Isso é direto e essencial para composições.

Passo 5

Identificar as partes da composição no nosso problema:
  • Função externa: g(u)=\operatorname{arccos}(u).
  • Função interna: u(x)=x^{3}.
Agora calculamos a derivada da função interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Aqui usei a regra de potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: pela Passo 3 temos g'(u)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}. Substituindo u=u(x)=x^{3} e multiplicando por u'(x)=3x^{2}, obtemos
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(x^{3}\bigr)^{2}}}\cdot 3x^{2}.
Simplificando \bigl(x^{3}\bigr)^{2}=x^{6}, temos
f'(x)=-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}.

Passo 7

Observações finais sobre domínio e pontos especiais:
  • A fórmula encontrada para \,f'(x)\, é válida quando o denominador existe e é diferente de zero, isto é quando \,1-x^{6}>0, ou seja |x|<1. Assim, a derivada na forma explícita acima vale para x\in(-1,1).
  • Nos pontos x=\pm 1 a função \operatorname{arccos}\!\bigl(x^{3}\bigr) está definida ( \operatorname{arccos}(\pm1) existe), mas a derivada não existe porque a raiz no denominador zera.
  • Para |x|>1 a função \operatorname{arccos}\!\bigl(x^{3}\bigr) não está definida em números reais, então não faz sentido falar de derivada real ali.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{6}}}

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