Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
.
Passo 1
O enunciado pede para escolher dois itens e calcular a derivada das funções escolhidas. Foi enviada uma função:
Como só há esta função disponível, vou escolhê‑la e calcular a sua derivada. Informações relevantes dadas:
- A função é produto de
por . - Objetivo: achar
.
Passo 2
Qual regra usar? A função é produto de duas funções dependentes de
, então usamos a regra do produto. Também aparece uma função composta
, então usaremos a regra da cadeia ao diferenciar esse fator exponencial.
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
- Regra do produto: para
e ,
Aqui
e
.
- Regra da cadeia: se
, então
Isto significa: derivar a função externa
avaliada na interna
e multiplicar pela derivada da interna.
- Derivada da exponencial: se
, então . Aplicando cadeia, . - Derivada da função arco tangente:
. Aplicando cadeia, para multiplica‑se pela derivada de , que é .
Passo 3
Identificamos as partes do produto:
Derivamos
:
Expliquei: para potências
, aqui
.
Passo 4
Agora derivamos
usando cadeia:
- Primeiro, a derivada da exponencial dá um fator
. - Depois multiplicamos pela derivada de
.
Calculemos
. Usando a fórmula da derivada da arco tangente e a cadeia:
Portanto
Passo 5
Aplicando a regra do produto
:
Substituindo
encontrados:
Podemos fatorar
(que é comum):
Passo 6
Simplificação algébrica final (para ficar numa forma racional mais compacta). Colocamos os termos entre parênteses sobre o mesmo denominador
:
Agrupando fator comum
no numerador:
Então uma forma bem condensada é
Dica prática para a prova: ao derivar, sempre identifique as partes do produto, calcule separadamente e depois tente fatorar um termo comum (aqui
e
) — economiza conta e reduz chance de erro. Força aí, você consegue!