Escolha dois dos itens a seguir e calcule a derivada das funções escolhidas:
f(x)=x^{2} e^{\operatorname{arctg}(2 x)}.

Passo 1

O enunciado pede para escolher dois itens e calcular a derivada das funções escolhidas. Foi enviada uma função:
f(x)=x^{2} e^{\operatorname{arctg}(2 x)}.
Como só há esta função disponível, vou escolhê‑la e calcular a sua derivada. Informações relevantes dadas:
  • A função é produto de x^{2} por e^{\operatorname{arctg}(2x)}.
  • Objetivo: achar f'(x).

Passo 2

Qual regra usar? A função é produto de duas funções dependentes de x, então usamos a regra do produto. Também aparece uma função composta e^{\operatorname{arctg}(2x)}, então usaremos a regra da cadeia ao diferenciar esse fator exponencial.
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Regra do produto: para u(x) e v(x),
( u v )' = u'v + uv'.
Aqui u'=\dfrac{du}{dx} e v'=\dfrac{dv}{dx}.
  • Regra da cadeia: se h(x)=\varphi(\psi(x)), então
h'(x)=\varphi'(\psi(x))\cdot\psi'(x).
Isto significa: derivar a função externa \varphi avaliada na interna \psi(x) e multiplicar pela derivada da interna.
  • Derivada da exponencial: se \varphi(t)=e^{t}, então \varphi'(t)=e^{t}. Aplicando cadeia, \dfrac{d}{dx}e^{\psi(x)}=e^{\psi(x)}\psi'(x).
  • Derivada da função arco tangente: \dfrac{d}{dt}\operatorname{arctg}(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Aplicando cadeia, para \operatorname{arctg}(a x) multiplica‑se pela derivada de a x, que é a.

Passo 3

Identificamos as partes do produto:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{\operatorname{arctg}(2x)}.
Derivamos u:
u'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Expliquei: para potências \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, aqui n=2.

Passo 4

Agora derivamos v(x)=e^{\operatorname{arctg}(2x)} usando cadeia:
  • Primeiro, a derivada da exponencial dá um fator e^{\operatorname{arctg}(2x)}.
  • Depois multiplicamos pela derivada de \operatorname{arctg}(2x).
Calculemos \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg}(2x). Usando a fórmula da derivada da arco tangente e a cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(2x)=\frac{1}{1+(2x)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=\frac{1}{1+4x^{2}}\cdot 2=\frac{2}{1+4x^{2}}.
Portanto
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{\operatorname{arctg}(2x)}=e^{\operatorname{arctg}(2x)}\cdot\frac{2}{1+4x^{2}}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto (u v)'=u'v+uv':
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=2x\cdot e^{\operatorname{arctg}(2x)}+x^{2}\cdot e^{\operatorname{arctg}(2x)}\cdot\frac{2}{1+4x^{2}}.
Podemos fatorar e^{\operatorname{arctg}(2x)} (que é comum):
f'(x)=e^{\operatorname{arctg}(2x)}\left(2x+\frac{2x^{2}}{1+4x^{2}}\right).

Passo 6

Simplificação algébrica final (para ficar numa forma racional mais compacta). Colocamos os termos entre parênteses sobre o mesmo denominador 1+4x^{2}:
2x+\frac{2x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{2x(1+4x^{2})}{1+4x^{2}}+\frac{2x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{2x+8x^{3}+2x^{2}}{1+4x^{2}}.
Agrupando fator comum 2x no numerador:
\frac{2x+8x^{3}+2x^{2}}{1+4x^{2}}=\frac{2x\,(1+x+4x^{2})}{1+4x^{2}}.
Então uma forma bem condensada é
f'(x)=e^{\operatorname{arctg}(2x)}\cdot\frac{2x\,(4x^{2}+x+1)}{1+4x^{2}}.
Dica prática para a prova: ao derivar, sempre identifique as partes do produto, calcule separadamente e depois tente fatorar um termo comum (aqui e^{\operatorname{arctg}(2x)} e 2x) — economiza conta e reduz chance de erro. Força aí, você consegue!

Resposta

f'(x)=e^{\operatorname{arctg}(2x)}\cdot\frac{2x\,(4x^{2}+x+1)}{1+4x^{2}}

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