Ao resolvermos a equação
, por meio de séries de potências sobre o ponto
, encontraremos a seguinte relação de recorrência, e soluções
e
, resultando na solução geral
(a)
(b)
,
©
,
(d)
(e)
nenhuma das demais alternativas
(a)
(b)
(e)
nenhuma das demais alternativas
Passo 1
A gente quer resolver a equação
usando série de potências em torno de
. Isso entra no método de séries para EDOs, e vamos precisar definir
e assumir uma expansão
.
Passo 2
Definimos
e escrevemos as derivadas em série:
Passo 3
Substituímos na EDO
e alinhamos potências de
:
Reindexando para comparar coeficientes de
com
.
Passo 4
Para construir as duas soluções fundamentais, escolhemos condições iniciais:"
– Solução :
,
. Da recorrência vêm
, gerando
– Solução
– Solução
Passo 5
Comparando com as alternativas dadas, a única que tem a relação
e as séries exatamente como encontramos é a opção (d).
Resposta
(d)