Ao resolvermos a equação y^prime prime-x y=0, por meio de séries de potências sobre o ponto x0=1, encontraremos a seguinte relação de recorrência, e soluções Y1 e Y2, resultando na solução geral y(x)=a0 Y1(x)+a1 Y2(x)
(a)
an+2=(n+1) an, lY1(x)=1+(x-1)^2+3(x-1)^4+cdots Y2(x)=(x-1)+2(x-1)^3+4(x-1)^5+cdots
(b) an+2=an /(n+1),
l Y1(x)=1+(x-1)^2+(x-1)^4 / 3+cdots ; Y2(x)=(x-1)+(x-1)^3 / 2+(x-1)^5 / 6+cdots
© an+2=an /[(n+2)(n+1)],
l Y1(x)=1+(x-1)^2 / 2!+(x-1)^4 / 4!+cdots Y2(x)=(x-1)+(x-1)^3 / 3!+(x-1)^5 / 5!+cdots
(d) (n+2)(n+1) an+2=an-1+an, llY1(x)=1+(x-1)^2 / 2+(x-1)^3 / 6+cdots Y2(x)=(x-1)+(x-1)^3 / 6+(x-1)^4 / 12+cdots
(e)
nenhuma das demais alternativas

Passo 1

A gente quer resolver a equação y''-x,y=0 usando série de potências em torno de x0=1. Isso entra no método de séries para EDOs, e vamos precisar definir t=x-1 e assumir uma expansão y(x)=sumn=0^infty an,t^n.

Passo 2

Definimos t=x-1 e escrevemos as derivadas em série:
y(x)=sumn=0^inftyan,t^n,
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,t^n-1,
y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)an,t^n-2

Passo 3

Substituímos na EDO y''-(t+1)y=0 e alinhamos potências de t^n:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2t^n - sumn=0^inftyan t^n+1 - sumn=0^inftyan t^n =0
Reindexando para comparar coeficientes de t^n, achamos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)an+2=an-1+an,
com a-1=0.

Passo 4

Para construir as duas soluções fundamentais, escolhemos condições iniciais:"
– Solução Y1: a0=1, a1=0. Da recorrência vêm a2=1/2,;a3=1/6,;dots, gerando
Y1(t)=1+t^22+t^36+cdots
– Solução Y2: a0=0, a1=1. Vêm a2=0,;a3=1/6,;a4=1/12,;dots,
Y2(t)=t+t^36+t^412+cdots

Passo 5

Comparando com as alternativas dadas, a única que tem a relação
(n+2)(n+1)an+2=an-1+an
e as séries exatamente como encontramos é a opção (d).

Resposta

(d)

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