Escolha uma das funções especiais definidas abaixo e faça o seu gráfico com pelo menos 100 valores de x no intervalo 0<x<10. A seguir, calcule a função nos pontos pedidos, com precisão de 6 casas decimais.
Função erro:
\operatorname{Erro}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-x^{\prime 2}} d x^{\prime}
Calcule \operatorname{Erro}(0.5) e \operatorname{Erro}(5.5).

Passo 1

O enunciado pede para escolher a função erro
\operatorname{Erro}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-x'^{2}}\,dx'
e (a) fazer o gráfico dela no intervalo 0<x<10 usando pelo menos 100 pontos de x; (b) calcular \operatorname{Erro}(0,5) e \operatorname{Erro}(5,5) com precisão de 6 casas decimais. O conteúdo é função especial (função erro) e técnica de integração numérica ou uso de séries/asintótica.

Passo 2

Para gerar o gráfico de \operatorname{Erro}(x) em 0 < x < 10 com 100 pontos, basta usar uma ferramenta numérica (por exemplo, Python+NumPy/Matplotlib ou MATLAB). Em Python, por exemplo, fariam:
import numpy as np
import scipy.special as sp
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 100)
y = sp.erf(x)        # erf em scipy já é \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Erro(x)')
plt.show()

Passo 3

Para achar valores em pontos isolados, usamos a definição
\operatorname{Erro}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n+1}}{n!\,(2n+1)},
que converge bem para x pequeno, e para x grande usamos que \operatorname{Erro}(x)\to1 rápido (pois a cauda da gaussiana decai).

Passo 4

Cálculo de \operatorname{Erro}(0,5) por truncar a série em alguns termos:
\operatorname{Erro}(0,5)\approx \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Bigl(0,5 - \tfrac{0,5^{3}}{3} + \tfrac{0,5^{5}}{10} - \tfrac{0,5^{7}}{42} + \cdots\Bigr)\approx0,5204998778\dots
Arredondando a 6 casas decimais, dá
\operatorname{Erro}(0,5)=0,520500.

Passo 5

Para x=5,5 a série oscilante converge muito devagar, mas sabemos que
\operatorname{Erro}(x)\to1 quando x é grande. A correção é da ordem de
\erfc(x)=1-\operatorname{Erro}(x)\approx \frac{e^{-x^{2}}}{x\sqrt{\pi}}\biggl(1-\frac{1}{2x^{2}}+\cdots\biggr),
que para x=5,5 vale algo em torno de 10^{-14}. Logo,
\operatorname{Erro}(5,5)=1 - O(10^{-14})\approx1,000000\quad(\text{6 casas decimais}).

Resposta

\operatorname{Erro}(0,5)=0,520500 \operatorname{Erro}(5,5)=1,000000

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