Escolha uma das funções especiais definidas abaixo e faça o seu gráfico com pelo menos 100 valores de x no intervalo
. A seguir, calcule a função nos pontos pedidos, com precisão de 6 casas decimais.
Função erro:
Calcule
e
.
Função erro:
Passo 1
O enunciado pede para escolher a função erro
e (a) fazer o gráfico dela no intervalo
usando pelo menos
pontos de
; (b) calcular
e
com precisão de
casas decimais. O conteúdo é função especial (função erro) e técnica de integração numérica ou uso de séries/asintótica.
Passo 2
Para gerar o gráfico de
em
com
pontos, basta usar uma ferramenta numérica (por exemplo, Python+NumPy/Matplotlib ou MATLAB). Em Python, por exemplo, fariam:
import numpy as np
import scipy.special as sp
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(0, 10, 100)
y = sp.erf(x) # erf em scipy já é \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt\)
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Erro(x)')
plt.show()
Passo 3
Para achar valores em pontos isolados, usamos a definição
que converge bem para
pequeno, e para
grande usamos que
rápido (pois a cauda da gaussiana decai).
Passo 4
Cálculo de
por truncar a série em alguns termos:
Arredondando a
casas decimais, dá
Passo 5
Para
a série oscilante converge muito devagar, mas sabemos que
quando
é grande. A correção é da ordem de
que para
vale algo em torno de
. Logo,