Escolha uma das funções especiais definidas abaixo e faça o seu gráfico com pelo menos 100 valores de x no intervalo 0<x<10. A seguir, calcule a função nos pontos pedidos, com precisão de 6 casas decimais.
Função seno integral:
\operatorname{Si}(x)=\int_{0}^{x} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{\prime}\right)}{x^{\prime}} d x^{\prime}
Calcule S i(0.5) e S i(5.5).

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função seno integral
\operatorname{Si}(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin(x')}{x'}\,dx'
no intervalo 0 < x < 10 usando pelo menos 100 pontos, e em seguida o valor de \operatorname{Si}(0.5) e de \operatorname{Si}(5.5) com precisão de 6 casas decimais. O conteúdo é cálculo numérico de integrais e uso de séries e de aproximação assintótica para funções especiais.

Passo 2

Para gerar o gráfico, discretizamos o intervalo em N=100 pontos x_{i}=0+i\cdot\Delta x com \Delta x=10/99, e em cada ponto calculamos
\operatorname{Si}(x_{i})\approx\sum_{k=0}^{i-1}\frac{\sin(x_k)}{x_k}\,\Delta x
(por exemplo pelo método do trapézio). Assim obtemos a curva aproximada de \operatorname{Si}(x) entre 0 e 10.

Passo 3

Para \operatorname{Si}(0.5) usamos a expansão em série convergente para x pequeno:
\operatorname{Si}(x) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}.
Tomando os primeiros termos para x=0.5:
\begin{aligned} n=0&:\\ \frac{0.5^1}{1\cdot1!}=0.500000000,\\\ n=1&:-\frac{0.5^3}{3\cdot3!}=-0.006944444,\\\ n=2&:+\frac{0.5^5}{5\cdot5!}=0.000052083,\\\ n=3&:-\frac{0.5^7}{7\cdot7!}=-0.000000221,\\\ n=4&:+\frac{0.5^9}{9\cdot9!}=0.000000001, \end{aligned}
que somam aproximadamente 0.493107418. Arredondando para 6 casas decimais:
\operatorname{Si}(0.5)\approx0.493107.

Passo 4

Para \operatorname{Si}(5.5) adotamos a expansão assintótica válida para x grande (decaimento oscilatório):
\operatorname{Si}(x)\approx\frac{\pi}{2} -\frac{\cos x}{x}\Bigl(1-\frac{2}{x^2}+\cdots\Bigr) -\frac{\sin x}{x^2}\Bigl(1-\frac{6}{x^2}+\cdots\Bigr).
Aplicando até termos de ordem x^{-4} em x=5.5 obtém-se cerca de 1.4689236. Arredondando para 6 casas decimais:
\operatorname{Si}(5.5)\approx1.468924.

Resposta

\operatorname{Si}(0.5)\approx0.493107
\operatorname{Si}(5.5)\approx1.468924

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