Compare os resultados obtidos com o método do trapézio e método de Simpson para as seguintes integrais:
Teste com diferentes números de ‘fatias’ para determinar quantas são necessárias para fornecer uma resposta aceitável.
\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime
\int_{1}^{3}\frac{1}{x^{2}}\,dx
usando as fórmulas compostas do método do trapézio e do método de Simpson, variando o número de subintervalos ( n) até que o erro seja considerado aceitável. Aqui o conteúdo é integração numérica e vamos precisar das fórmulas de cada método, além do valor exato da integral para estimar o erro.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor exato da integral. Como
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C,
temos
\int_{1}^{3}\frac{1}{x^{2}}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{x}\Bigr]_{1}^{3} =-\frac{1}{3}-\bigl(-1\bigr) =1-\frac{1}{3} =\frac{2}{3}\approx0,666667.
Definimos como critério de “aceitável” erro menor que \epsilon=10^{-4}.

Passo 3

Método do trapézio composto em n subintervalos de comprimento
h=\frac{3-1}{n}=\frac{2}{n}.
A fórmula é
T_{n} =h\Bigl(\tfrac{f(x_{0})+f(x_{n})}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{i})\Bigr),
onde f(x)=1/x^{2} e x_{i}=1+i\,h. Calculando para n=2,4,8,16,32,64,128 obtemos:
\begin{array}{r|c|c} n & T_{n} & |T_{n}-I| \\\ \hline 2 & 0,805556 & 0,138889\\\\ 4 & 0,705000 & 0,038333\\\\ 8 & 0,676571 & 0,009905\\\\ 16 & 0,669151 & 0,002485\\\\ 32 & 0,667029 & 0,000362\\\\ 64 & 0,666784 & 0,000117\\\\ 128& 0,666704 & 0,000038 \end{array}

Passo 4

Para o método do trapézio atingir erro abaixo de 10^{-4} precisamos de pelo menos n=128 subintervalos.

Passo 5

Método de Simpson composto para n par, com
h=\frac{2}{n},
é dado por
S_{n} =\frac{h}{3}\Bigl(f(x_{0})+f(x_{n}) +4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) +2\sum_{i\text{ par},\,1\le i\le n-1}f(x_{i})\Bigr).í
Calculando para n=2,4,8,16 achamos:
\begin{array}{r|c|c} n & S_{n} & |S_{n}-I| \\\ \hline 2 & 0,703704 & 0,037037\\\\ 4 & 0,671481 & 0,004815\\\\ 8 & 0,667096 & 0,000430\\\\ 16 & 0,666693 & 0,000027 \end{array}

Passo 6

Para atingir erro menor que 10^{-4}, o método de Simpson requer n=16 subintervalos, muito menos do que os 128 do trapézio.

Resposta

O valor exato da integral é
\int_{1}^{3}\frac{1}{x^{2}}\,dx=\frac{2}{3}\approx0,666667.
Para erro menor que 10^{-4}:
– Método do trapézio: n=128 subintervalos.
– Método de Simpson: n=16 subintervalos.

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