Uma massa de
está presa a uma mola com constante de rígidez
. A massa é deslocada 0.5 m além da posição de equilibrio e recebe uma velocidade inicial de
.
(a) Supondo que não há amortecimento, em que momento(s) a massa passa pela posição de equilibrio?
(b) Suponha que em
a massa passa pela primeira vez pela posição de equilibrio. É possível determinar a constante de amortecimento do sistema?
(a) Supondo que não há amortecimento, em que momento(s) a massa passa pela posição de equilibrio?
(b) Suponha que em
Passo 1
O enunciado dá uma massa
kg presa a uma mola de constante
N/m, deslocada inicialmente de
m e com velocidade inicial
m/s.
(a) Sem amortecimento, trata-se do oscilador harmônico simples, cuja solução vamos usar para achar os zeros (passagem pela posição de equilíbrio).
(b) Com amortecimento, veremos que obter um único instante de passagem não basta para determinar a constante de amortecimento.
(a) Sem amortecimento, trata-se do oscilador harmônico simples, cuja solução
(b) Com amortecimento, veremos que obter um único instante de passagem não basta para determinar a constante de amortecimento.
Passo 2
Sem amortecimento, a equação é
com
.
A solução geral é
A solução geral é
onde
e
Logo
Passo 3
Para achar os instantes em que
, escrevemos
Isso implica
Como
, podemos reorganizar para os
positivos.
Passo 4
Os instantes de passagem pelo equilíbrio ficam
O primeiro instante (
) é
e os seguintes ocorrem com intervalo
s.
Passo 5
Com amortecimento
, a equação é
Definindo
e
, tem-se
O primeiro zero em
satisfaz
que é uma equação transcendental em
(ou em
). Com apenas este dado não se obtém valor único de
.
Resposta
(a) Os instantes de passagem pelo equilíbrio são
(b) Não é possível determinar de forma única a constante de amortecimento, pois o requisito
gera uma equação transcendental sem solução única para
.