Uma massa de 18 kg está presa a uma mola com constante de rígidez k=16 N / m. A massa é deslocada 0.5 m além da posição de equilibrio e recebe uma velocidade inicial de raiz2 m / s.
(a) Supondo que não há amortecimento, em que momento(s) a massa passa pela posição de equilibrio?
(b) Suponha que em t=1 a massa passa pela primeira vez pela posição de equilibrio. É possível determinar a constante de amortecimento do sistema?

Passo 1

O enunciado dá uma massa m=tfrac18 kg presa a uma mola de constante k=16 N/m, deslocada inicialmente de x0=0,5 m e com velocidade inicial v0=raiz2 m/s.
(a) Sem amortecimento, trata-se do oscilador harmônico simples, cuja solução x(t) vamos usar para achar os zeros (passagem pela posição de equilíbrio).
(b) Com amortecimento, veremos que obter um único instante de passagem não basta para determinar a constante de amortecimento.

Passo 2

Sem amortecimento, a equação é
m,x''+k,x=0,
com omega0=raiztfrackm=raiztfrac161/8=8raiz2.
A solução geral é
x(t)=Acos(omega0 t)+Bsin(omega0 t),
onde A=x0=0,5 e
B=v0omega0=raiz28raiz2=tfrac18
Logo
x(t)=0,5cos(8raiz2,t)+0,125sin(8raiz2,t)

Passo 3

Para achar os instantes em que x(t)=0, escrevemos
0,5cos(8raiz2,t)+0,125sin(8raiz2,t)=0 Longrightarrow tan(8raiz2,t)=-0,50,125=-4
Isso implica
8raiz2,t=arctan(-4)+npi, nin Z
Como arctan(-4)=-arctan(4), podemos reorganizar para os t positivos.

Passo 4

Os instantes de passagem pelo equilíbrio ficam
tn =pi-arctan(4)+npi8raiz2, n=0,1,2,dots
O primeiro instante ( n=0) é
t0=pi-arctan(4)8raiz2approx0,16 s,
e os seguintes ocorrem com intervalo De<a t=dfracpi8raiz2approx0,277 s.

Passo 5

Com amortecimento c, a equação é
m,x''+c,x'+k,x=0
Definindo gamma=tfracc2m e omegad=raizomega0^2-gamma^2, tem-se
x(t) =e^-gamma tl(x0cos(omegad t)+gamma x0+v0omegadsin(omegad t)r)
O primeiro zero em t=1 satisfaz
tan(omegadcdot1) =-x0,omegadgamma x0+v0,
que é uma equação transcendental em gamma (ou em c). Com apenas este dado não se obtém valor único de c.

Resposta

(a) Os instantes de passagem pelo equilíbrio são
tn=pi-arctan(4)+npi8raiz2, n=0,1,2,dots
(b) Não é possível determinar de forma única a constante de amortecimento, pois o requisito t1=1 gera uma equação transcendental sem solução única para c.

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