Escolha
para que
satisfaza as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha a função
de modo que a função
satisfaça a equação
Informações dadas:
-
(com sendo uma constante). - A condição que deve ser satisfeita é
. - A incógnita é a função
(ou seja, quero encontrar em termos de e constantes).
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais
e
. Lembre que ao derivar parcialmente em relação a
tratamos
(e, portanto,
) como constante; ao derivar em relação a
tratamos
(e
) como constante.
Cálculo de
:
Como
, temos
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Agora imponho a condição
. Substituindo as expressões encontradas:
Posso simplificar dividindo ambos os lados por
. Isso é válido porque
para todo
. Após a divisão obtenho uma equação para
em função de
:
Reescrevendo:
Passo 5
A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável e do tipo crescimento/exponencial. Resolvo por separação de variáveis:
Separo
e
:
Escrevendo
e integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
e a do direito é
mais constante. Logo
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Absorvo
num único parâmetro constante (que pode ser positivo ou negativo, ou zero). Denoto essa constante por
. Assim a solução geral é
onde
é uma constante arbitrária (se
obtemos a solução trivial
).