Escolha g(y) para que f(x, y)=e^{c x} g(y) satisfaza as equações:
f_{x}=7 f_{y}.
g(y)=\Lambda e^{c y / 7} .

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha a função g(y) de modo que a função
f(x,y)=e^{c x}\,g(y)
satisfaça a equação
f_{x}=7\,f_{y}.
Informações dadas:
  • f(x,y)=e^{c x} g(y) (com c sendo uma constante).
  • A condição que deve ser satisfeita é f_{x}=7 f_{y}.
  • A incógnita é a função g(y) (ou seja, quero encontrar g em termos de y e constantes).

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais f_{x} e f_{y}. Lembre que ao derivar parcialmente em relação a x tratamos y (e, portanto, g(y)) como constante; ao derivar em relação a y tratamos x (e e^{c x}) como constante.
Cálculo de f_{x}:
f(x,y)=e^{c x}\,g(y)\quad\Rightarrow\quad f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{c x}\big)\cdot g(y).
Como \frac{d}{dx}e^{c x}=c e^{c x}, temos
f_{x}=c\,e^{c x}\,g(y).

Passo 3

Cálculo de f_{y}:
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(g(y)\big)\cdot e^{c x}=g'(y)\,e^{c x}.

Passo 4

Agora imponho a condição f_{x}=7 f_{y}. Substituindo as expressões encontradas:
c\,e^{c x}\,g(y)=7\big(g'(y)\,e^{c x}\big).
Posso simplificar dividindo ambos os lados por e^{c x}. Isso é válido porque e^{c x}\neq 0 para todo x. Após a divisão obtenho uma equação para g em função de y:
c\,g(y)=7\,g'(y).
Reescrevendo:
g'(y)=\frac{c}{7}\,g(y).

Passo 5

A equação g'(y)=\dfrac{c}{7}g(y) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável e do tipo crescimento/exponencial. Resolvo por separação de variáveis:
Separo g e y:
\frac{g'(y)}{g(y)}=\frac{c}{7}.
Escrevendo g'(y)=\dfrac{dg}{dy} e integrando ambos os lados em relação a y:
\int \frac{1}{g}\,dg=\int \frac{c}{7}\,dy.
A integral do lado esquerdo é \ln|g| e a do direito é \dfrac{c}{7}y mais constante. Logo
\ln|g(y)|=\frac{c}{7}y + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
|g(y)|=e^{C}\,e^{\frac{c}{7}y}.
Absorvo e^{C} num único parâmetro constante (que pode ser positivo ou negativo, ou zero). Denoto essa constante por \Lambda. Assim a solução geral é
g(y)=\Lambda\,e^{\frac{c}{7}y},
onde \Lambda é uma constante arbitrária (se \Lambda=0 obtemos a solução trivial g\equiv0).

Resposta

g(y)=\Lambda e^{c y / 7}

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