Escolha g(y) para que f(x, y)=e^{c x} g(y) satisfaza as equações:
f_{x x}=4 f_{y y}.
g(y)=A e^{c y / 2}+B e^{-c y / 2}

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha g(y) de modo que a função
f(x,y)=e^{c x}g(y)
satisfaça a equação diferencial parcial
f_{x x}=4 f_{y y}.
Informações dadas: a forma de f (produto de e^{c x} por uma função de y apenas) e a equação PDE que relaciona as derivadas de segunda ordem de f. Não há outros dados numéricos; c é uma constante e g é função de uma variável a determinar.

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais que aparecem na PDE. Lembre que ao derivar parcialmente em x tratamos y como constante, e ao derivar em y tratamos x como constante.
Primeira derivada parcial em x:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{c x}g(y)\big)=c e^{c x}g(y),
porque a derivada de e^{c x} em relação a x é c e^{c x} e g(y) é constante relativamente a x.
Segunda derivada parcial em x:
f_{x x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(c e^{c x}g(y)\big)=c^2 e^{c x}g(y).
Segunda derivada parcial em y: agora e^{c x} é constante frente a y, então
f_{y y}=e^{c x}\, g''(y),
onde g''(y) é a segunda derivada ordinária de g em relação a y.

Passo 3

Substituo as expressões de f_{x x} e f_{y y} na PDE:
c^2 e^{c x}g(y)=4\, e^{c x} g''(y).
Posso dividir ambos os lados por e^{c x} porque e^{c x} é sempre positivo (nunca zero) para todo x. Assim obtenho uma equação ordinária para g:
c^2 g(y)=4 g''(y).
Reescrevendo,
g''(y)-\frac{c^2}{4}g(y)=0.

Passo 4

A equação obtida é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é assumir solução exponencial g(y)=e^{r y} e obter a equação característica para r.
Substituindo g(y)=e^{r y} em g''-\frac{c^2}{4}g=0
r^2 e^{r y}-\frac{c^2}{4} e^{r y}=0,
logo a equação característica é
r^2-\frac{c^2}{4}=0.
Resolvendo para r:
r=\pm\frac{c}{2}.
Como as raízes são distintas (quando c\neq 0), a solução geral da ODE é combinação linear das exponenciais correspondentes:
g(y)=A e^{\frac{c}{2}y}+B e^{-\frac{c}{2}y},
onde A e B são constantes arbitrárias (constantes de integração) que serão fixadas por condições adicionais, se houver.
Observação sobre o caso c=0: se c=0 a equação para g fica g''(y)=0, cuja solução geral é
g(y)=A+By.
Note que a fórmula exponencial acima se torna g(y)=A+B (duas cópias de e^{0y}=1) e não representa a solução linear geral em y nesse caso singular; portanto é preciso tratar c=0 separadamente.

Passo 5

Verificação rápida (para nos dar confiança): tomando g como em cima e definindo f(x,y)=e^{c x}g(y), calculamos f_{x x}=c^2 e^{c x}g(y) e 4f_{y y}=4 e^{c x} g''(y). Como g''(y)=\frac{c^2}{4}g(y) pela ODE, os dois lados coincidem e a PDE é satisfeita.

Resposta

g(y)=A e^{\frac{c}{2}y}+B e^{-\frac{c}{2}y} (para c\neq 0).
Se c=0: g(y)=A+By.

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