Escolha
para que
satisfaza as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha
de modo que a função
satisfaça a equação diferencial parcial
Informações dadas: a forma de
(produto de
por uma função de
apenas) e a equação PDE que relaciona as derivadas de segunda ordem de
. Não há outros dados numéricos;
é uma constante e
é função de uma variável a determinar.
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais que aparecem na PDE. Lembre que ao derivar parcialmente em
tratamos
como constante, e ao derivar em
tratamos
como constante.
Primeira derivada parcial em
:
porque a derivada de
em relação a
é
e
é constante relativamente a
.
Segunda derivada parcial em
:
Segunda derivada parcial em
: agora
é constante frente a
, então
onde
é a segunda derivada ordinária de
em relação a
.
Passo 3
Substituo as expressões de
e
na PDE:
Posso dividir ambos os lados por
porque
é sempre positivo (nunca zero) para todo
. Assim obtenho uma equação ordinária para
:
Reescrevendo,
Passo 4
A equação obtida é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O método padrão é assumir solução exponencial
e obter a equação característica para
.
Substituindo
em
dá
logo a equação característica é
Resolvendo para
:
Como as raízes são distintas (quando
), a solução geral da ODE é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (constantes de integração) que serão fixadas por condições adicionais, se houver.
Observação sobre o caso
: se
a equação para
fica
, cuja solução geral é
Note que a fórmula exponencial acima se torna
(duas cópias de
) e não representa a solução linear geral em
nesse caso singular; portanto é preciso tratar
separadamente.
Passo 5
Verificação rápida (para nos dar confiança): tomando
como em cima e definindo
, calculamos
e
. Como
pela ODE, os dois lados coincidem e a PDE é satisfeita.
Resposta
Se