Mostre que t^{-1 / 2} e^{-x^{2} / 4 t} satisfaz a equação do calor f_{t}=f_{x x}. Esta f(x, t) é a temperatura na posição x e no tempo t debido a uma fonte pontoal de calor em x=0, t=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,t)=t^{-1/2}e^{-x^{2}/4t}
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
f_{t}=f_{x x}.
Informações relevantes: a função está definida para t>0 (pois aparece t^{-1/2} e 1/t no expoente). Também é afirmado que essa f(x,t) representa a temperatura em x,t produzida por uma fonte pontual em x=0,t=0 (isso é uma interpretação física que comentarei ao final).

Passo 2

Antes de calcular, repasso as regras de diferenciação que vamos usar (com explicações passo a passo e exemplos simples):
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então (uv)'=u'v+uv'. Aqui vamos usar isso tanto para derivar em x (tratando t como constante) quanto para derivar em t.
  • Regra da cadeia: se h(z)=e^{z} e z=\varphi(x,t), então \partial_{x} e^{\varphi}=e^{\varphi}\,\partial_{x}\varphi. Ou seja, derivar uma exponencial é a exponencial vezes a derivada do expoente.
  • Derivadas básicas de potências: \dfrac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha t^{\alpha-1}. Em particular \dfrac{d}{dt}t^{-1/2}=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}.
    Exemplo rápido (para fixar): se g(x)=e^{ax}, então g'(x)=a e^{ax}. Aqui o papel de a será desempenhado por expressões como -x/(2t) quando derivamos o expoente.

Passo 3

Calcular a derivada parcial em x, \partial_{x}f. Tratamos t como constante.
O expoente é -x^{2}/4t. Pela regra da cadeia,
\partial_{x}\!\left(-\frac{x^{2}}{4t}\right)=-\frac{2x}{4t}=-\frac{x}{2t}.
Aplicando produto (na verdade aqui t^{-1/2} é constante em x) e cadeia para a exponencial,
\partial_{x}f = t^{-1/2} e^{-x^{2}/4t}\left(-\frac{x}{2t}\right).
Simplificando os fatores de potência de t,
\partial_{x}f = -\frac{x}{2t^{3/2}}\,e^{-x^{2}/4t}.

Passo 4

Agora calculo \partial_{x x}f derivando \partial_{x}f em relação a x novamente. Escrevo
\partial_{x}f = -\frac{x}{2t^{3/2}}\,e^{-x^{2}/4t}.
Aqui -\frac{x}{2t^{3/2}} depende de x (é linear) e e^{-x^{2}/4t} também. Uso a regra do produto:
\partial_{x x}f = \partial_{x}\!\left(-\frac{x}{2t^{3/2}}\right)\,e^{-x^{2}/4t} +\left(-\frac{x}{2t^{3/2}}\right)\,\partial_{x}\!\left(e^{-x^{2}/4t}\right).
Calculo cada termo:
\partial_{x}\!\left(-\frac{x}{2t^{3/2}}\right)=-\frac{1}{2t^{3/2}}, \qquad \partial_{x}\!\left(e^{-x^{2}/4t}\right)=e^{-x^{2}/4t}\left(-\frac{x}{2t}\right).
Substituindo,
\partial_{x x}f = -\frac{1}{2t^{3/2}}\,e^{-x^{2}/4t} +\left(-\frac{x}{2t^{3/2}}\right)\,e^{-x^{2}/4t}\left(-\frac{x}{2t}\right).
O segundo termo simplifica porque os sinais negativos se cancelam:
\left(-\frac{x}{2t^{3/2}}\right)\left(-\frac{x}{2t}\right)=\frac{x^{2}}{4t^{5/2}}.
Logo
\partial_{x x}f = e^{-x^{2}/4t}\!\left(-\frac{1}{2t^{3/2}}+\frac{x^{2}}{4t^{5/2}}\right).
Posso escrever com denominador comum 4t^{5/2} se quiser:
\partial_{x x}f = \frac{x^{2}-2t}{4t^{5/2}}\,e^{-x^{2}/4t}.

Passo 5

Agora calculo a derivada parcial em t, \partial_{t}f. Agora f(x,t)=t^{-1/2}\cdot e^{-x^{2}/4t} tem dependência de t tanto no fator t^{-1/2} quanto no expoente. Uso a regra do produto:
\partial_{t}f = \partial_{t}(t^{-1/2})\cdot e^{-x^{2}/4t} + t^{-1/2}\cdot \partial_{t}\!\left(e^{-x^{2}/4t}\right).
Calculo cada parte:
\partial_{t}(t^{-1/2})=-\frac{1}{2}t^{-3/2}.
Para a exponencial, defino g(t)=-\dfrac{x^{2}}{4t}=-\dfrac{x^{2}}{4}t^{-1}. Então
g'(t)= -\frac{x^{2}}{4}\cdot(-1)t^{-2}=\frac{x^{2}}{4t^{2}}.
Pela cadeia,
\partial_{t}\!\left(e^{-x^{2}/4t}\right)=e^{-x^{2}/4t}\cdot \frac{x^{2}}{4t^{2}}.
Substituindo nas expressões:
\partial_{t}f = -\frac{1}{2}t^{-3/2} e^{-x^{2}/4t} + t^{-1/2} e^{-x^{2}/4t}\cdot\frac{x^{2}}{4t^{2}}.
Coloco em fator comum e^{-x^{2}/4t}:
\partial_{t}f = e^{-x^{2}/4t}\!\left(-\frac{1}{2t^{3/2}}+\frac{x^{2}}{4t^{5/2}}\right).

Passo 6

Comparei as expressões encontradas para \partial_{t}f e \partial_{x x}f. Ambas deram exatamente
e^{-x^{2}/4t}\!\left(-\frac{1}{2t^{3/2}}+\frac{x^{2}}{4t^{5/2}}\right),
ou, equivalentemente,
\frac{x^{2}-2t}{4t^{5/2}}\,e^{-x^{2}/4t}.
Portanto, para t>0,
\partial_{t}f=\partial_{x x}f,
isto é, f satisfaz a equação do calor.

Passo 7

Interpretação física curta (didática): a função dada é, à multiplicação por uma constante de normalização, o chamado núcleo fundamental da equação do calor na reta — é uma gaussiana cujo pico está em x=0 e que se espalha e alisa conforme t cresce. Para t\downarrow 0 ela se concentra em x=0, o que corresponde à condição inicial de uma fonte pontual (delta de Dirac) em x=0,t=0. A constante normalizadora típica é (4\pi)^{-1/2}, de modo que a solução física com massa total 1 é
\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\,e^{-x^{2}/4t},
mas a verificação da equação do calor que fizemos vale para a função dada (sem ou com essa constante).

Resposta

\partial_{t}f=\partial_{x x}f=e^{-x^{2}/4t}\!\left(-\frac{1}{2t^{3/2}}+\frac{x^{2}}{4t^{5/2}}\right)

Exercícios relacionados