Mostre que
satisfaz a equação do calor
. Esta
é a temperatura na posição
e no tempo
debido a uma fonte pontoal de calor em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação
Informações relevantes: a função está definida para
(pois aparece
e
no expoente). Também é afirmado que essa
representa a temperatura em
produzida por uma fonte pontual em
(isso é uma interpretação física que comentarei ao final).
Passo 2
Antes de calcular, repasso as regras de diferenciação que vamos usar (com explicações passo a passo e exemplos simples):
- Regra do produto: se
e são funções, então . Aqui vamos usar isso tanto para derivar em (tratando como constante) quanto para derivar em . - Regra da cadeia: se
e , então . Ou seja, derivar uma exponencial é a exponencial vezes a derivada do expoente. - Derivadas básicas de potências:
. Em particular .
Exemplo rápido (para fixar): se, então . Aqui o papel de será desempenhado por expressões como quando derivamos o expoente.
Passo 3
Calcular a derivada parcial em
,
. Tratamos
como constante.
O expoente é . Pela regra da cadeia,
O expoente é
Aplicando produto (na verdade aqui
é constante em
) e cadeia para a exponencial,
Simplificando os fatores de potência de
,
Passo 4
Agora calculo
derivando
em relação a
novamente. Escrevo
Aqui
depende de
(é linear) e
também. Uso a regra do produto:
Calculo cada termo:
Substituindo,
O segundo termo simplifica porque os sinais negativos se cancelam:
Logo
Posso escrever com denominador comum
se quiser:
Passo 5
Agora calculo a derivada parcial em
,
. Agora
tem dependência de
tanto no fator
quanto no expoente. Uso a regra do produto:
Calculo cada parte:
Para a exponencial, defino
. Então
Pela cadeia,
Substituindo nas expressões:
Coloco em fator comum
:
Passo 6
Comparei as expressões encontradas para
e
. Ambas deram exatamente
ou, equivalentemente,
Portanto, para
,
isto é,
satisfaz a equação do calor.
Passo 7
Interpretação física curta (didática): a função dada é, à multiplicação por uma constante de normalização, o chamado núcleo fundamental da equação do calor na reta — é uma gaussiana cujo pico está em
e que se espalha e alisa conforme
cresce. Para
ela se concentra em
, o que corresponde à condição inicial de uma fonte pontual (delta de Dirac) em
. A constante normalizadora típica é
, de modo que a solução física com massa total
é
mas a verificação da equação do calor que fizemos vale para a função dada (sem ou com essa constante).