Identifique, em cada caso, a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
z^{2}=-x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície definida pela equação e comentar sua posição em relação aos eixos coordenados.
A equação dada é z^{2}=-x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação é homogênea de segundo grau (não há termos lineares nem termo constante) e a única expressão algébrica que relaciona x,y,z está acima.

Passo 2

Reescrevemos a equação numa forma mais clara. Somando x^{2} em ambos os lados e colocando os termos do mesmo lado, obtemos
y^{2}-x^{2}-z^{2}=0.
Isolando y em função de x e z temos
y^{2}=x^{2}+z^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{x^{2}+z^{2}}.
Esta igualdade já sugere uma relação geométrica direta entre a distância ao eixo y e a coordenada y.

Passo 3

Introduzimos a coordenada radial em torno do eixo y: defina r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}. Com isso a equação fica
y^{2}=r^{2}\quad\Rightarrow\quad r=|y|.
Interpretação: a distância r ao eixo y é igual ao valor absoluto de y. Isso caracteriza uma superfície cuja seção transversal para cada y fixo é um círculo de raio |y|. Quando y varia, os círculos crescem linearmente com |y|, o que é típico de um cone.

Passo 4

Escrevemos uma parametrização que evidencia a simetria circular em torno do eixo y. Usando parâmetros t\ge 0 e \theta\in[0,2\pi):
x=t\cos\theta,\quad z=t\sin\theta,\quad y=\pm t.
Ou, em forma vetorial,
\mathbf{r}(t,\theta)=t(\cos\theta,\pm 1,\sin\theta).
Isto mostra que a superfície é formada por todas as retas que saem da origem com direção (\cos\theta,1,\sin\theta) e (\cos\theta,-1,\sin\theta): um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem.

Passo 5

Calculemos o ângulo entre uma geratriz (uma reta geradora do cone) e o eixo y. Tome um ponto genérico na superfície (x,y,z) com x^{2}+z^{2}=y^{2}. O vetor posição é \mathbf{v}=(x,y,z). O cosseno do ângulo \alpha entre \mathbf{v} e o vetor unitário do eixo y, \mathbf{e}_{y}=(0,1,0), é
\cos\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_{y}}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=\frac{y}{\sqrt{2y^{2}}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto \alpha=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)=45^\circ. Conclusão: o semi-ângulo do cone em relação ao eixo y é 45^\circ.

Passo 6

Estudemos interseções com eixos e planos coordenados para entender a posição relativa:
  • Interseção com os eixos:
    • Eixo x: pontos da forma (x,0,0). Substituindo em \,z^{2}=-x^{2}+y^{2}\, 0=-x^{2}, logo x=0. Portanto a interseção com o eixo x é apenas a origem (0,0,0).
    • Eixo y: pontos (0,y,0) dão 0=y^{2}, logo y=0. Só a origem.
    • Eixo z: pontos (0,0,z) dão z^{2}=-0+0, logo z=0. Só a origem.
      Conclusão: a superfície corta cada eixo apenas na origem (vértice).
  • Interseção com planos coordenados:
    • Plano z=0 (plano xy): a equação vira 0=-x^{2}+y^{2}, ou y=\pm x. Interseção: duas retas que passam pela origem no plano xy.
    • Plano x=0 (plano yz): a equação vira z^{2}=y^{2}, ou y=\pm z. Interseção: duas retas no plano yz.
    • Plano y=0 (plano xz): a equação vira z^{2}=-x^{2}, que só admite x=0,z=0. Interseção: apenas a origem no plano y=0.

Passo 7

Resumo geométrico e posição relativa: a superfície é um cone duplo com vértice na origem; o eixo do cone é o eixo y (simetria rotacional em torno de y); o cone abre igualmente para y>0 e y<0 com semi-ângulo 45^\circ. Ele encontra cada eixo coordenado somente na origem e corta os planos xy e yz ao longo de retas que passam pela origem, enquanto no plano xz só toca a origem.

Resposta

Superfície: cone duplo (duas nappes) dado por y^{2}=x^{2}+z^{2}, com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo y; semi-ângulo do cone 45^\circ.
Interseções: com os eixos coordenados apenas na origem (0,0,0); com o plano z=0 as retas y=\pm x; com o plano x=0 as retas y=\pm z; com o plano y=0 somente a origem.

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