Identifique, em cada caso, a superfície e comente sua posição em relação aos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: identificar a superfície definida pela equação e comentar sua posição em relação aos eixos coordenados.
A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado: a equação é homogênea de segundo grau (não há termos lineares nem termo constante) e a única expressão algébrica que relaciona
está acima.
Passo 2
Reescrevemos a equação numa forma mais clara. Somando
em ambos os lados e colocando os termos do mesmo lado, obtemos
Isolando
em função de
e
temos
Esta igualdade já sugere uma relação geométrica direta entre a distância ao eixo
e a coordenada
.
Passo 3
Introduzimos a coordenada radial em torno do eixo
: defina
. Com isso a equação fica
Interpretação: a distância
ao eixo
é igual ao valor absoluto de
. Isso caracteriza uma superfície cuja seção transversal para cada
fixo é um círculo de raio
. Quando
varia, os círculos crescem linearmente com
, o que é típico de um cone.
Passo 4
Escrevemos uma parametrização que evidencia a simetria circular em torno do eixo
. Usando parâmetros
e
:
Ou, em forma vetorial,
Isto mostra que a superfície é formada por todas as retas que saem da origem com direção
e
: um cone duplo (duas nappes) com vértice na origem.
Passo 5
Calculemos o ângulo entre uma geratriz (uma reta geradora do cone) e o eixo
. Tome um ponto genérico na superfície
com
. O vetor posição é
. O cosseno do ângulo
entre
e o vetor unitário do eixo
,
, é
Portanto
. Conclusão: o semi-ângulo do cone em relação ao eixo
é
.
Passo 6
Estudemos interseções com eixos e planos coordenados para entender a posição relativa:
-
Interseção com os eixos:
- Eixo
: pontos da forma . Substituindo em dá , logo . Portanto a interseção com o eixo é apenas a origem . - Eixo
: pontos dão , logo . Só a origem. - Eixo
: pontos dão , logo . Só a origem.
Conclusão: a superfície corta cada eixo apenas na origem (vértice).
- Eixo
-
Interseção com planos coordenados:
- Plano
(plano ): a equação vira , ou . Interseção: duas retas que passam pela origem no plano . - Plano
(plano ): a equação vira , ou . Interseção: duas retas no plano . - Plano
(plano ): a equação vira , que só admite . Interseção: apenas a origem no plano .
- Plano
Passo 7
Resumo geométrico e posição relativa: a superfície é um cone duplo com vértice na origem; o eixo do cone é o eixo
(simetria rotacional em torno de
); o cone abre igualmente para
e
com semi-ângulo
. Ele encontra cada eixo coordenado somente na origem e corta os planos
e
ao longo de retas que passam pela origem, enquanto no plano
só toca a origem.
Resposta
Superfície: cone duplo (duas nappes) dado por
, com vértice na origem e eixo coincidente com o eixo
; semi-ângulo do cone
.
Interseções: com os eixos coordenados apenas na origem ; com o plano
as retas
; com o plano
as retas
; com o plano
somente a origem.
Interseções: com os eixos coordenados apenas na origem