Escolha um item e resolva.
Sejam
(
espaço Métrico). Prove que
. Em seguida, dê um exemplo verificando que a união não é valida.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para, num espaço métrico
e para quaisquer subconjuntos
, provar que
e em seguida dar um exemplo que mostra que, em geral,
Passo 2
Mostramos primeiro
Se
, então existe
tal que
Daí
e
, o que implica
e
. Logo
Passo 3
Agora mostramos
Se
, então existem
com
Basta tomar
para ter
logo
.
Passo 4
Das inclusões dos Passos
e
concluímos
Passo 5
Para ver que a igualdade análoga não vale para união, tome em
com a métrica usual
Então
logo
Em contrapartida
e claramente
Resposta
Em geral
como no exemplo