Escolha um item e resolva.
Sejam X, Y subset M ( M espaço Métrico). Prove que int(X) cap int(Y)=int X cap Y. Em seguida, dê um exemplo verificando que a união não é valida.

Passo 1

O enunciado pede para, num espaço métrico M e para quaisquer subconjuntos X,Ysubset M, provar que
int(Xcap Y) = int(X),cap,int(Y)
e em seguida dar um exemplo que mostra que, em geral,
int(Xcup Y) neq int(X),cup,int(Y)

Passo 2

Mostramos primeiro
int(Xcap Y) subset int(X),cap,int(Y)
Se pin int(Xcap Y), então existe r>0 tal que
B(p,r)subset Xcap Y
Daí B(p,r)subset X e B(p,r)subset Y, o que implica pinint(X) e pinint(Y). Logo
pin int(X),cap,int(Y)

Passo 3

Agora mostramos
int(X),cap,int(Y) subset int(Xcap Y)
Se pin int(X)capint(Y), então existem r1,r2>0 com
B(p,r1)subset X e B(p,r2)subset Y
Basta tomar r=min(r1,r2) para ter
B(p,r)subset B(p,r1)cap B(p,r2)subset Xcap Y,
logo pinint(Xcap Y).

Passo 4

Das inclusões dos Passos 2 e 3 concluímos
int(Xcap Y) = int(X),cap,int(Y)

Passo 5

Para ver que a igualdade análoga não vale para união, tome em R com a métrica usual
X=[0,1], Y=[1,2]
Então
int(X)=(0,1), int(Y)=(1,2),
logo
int(X)cupint(Y) =(0,1)cup(1,2)
Em contrapartida
Xcup Y=[0,2] Longrightarrow int(Xcup Y)=(0,2),
e claramente
(0,2)neq (0,1)cup(1,2)

Resposta

int(Xcap Y)=int(X)capint(Y).
Em geral
int(Xcup Y)neqint(X)cupint(Y),
como no exemplo X=[0,1],,Y=[1,2]subsetR.

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