Escolha um dos itens e calcule o volume do sólido obtido pela rotação,
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
o conjunto de pontos
que satisfazem
Informações dadas:
- A região no plano é a “meia-corona” (a parte superior,
, de uma coroa circular) entre as circunferências de raio e de raio . - O eixo de rotação é o eixo
.
A tarefa é calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Interpretação geométrica (passo importante para visualizar o que vamos calcular).
- A região no plano é formada por dois semicírculos concêntricos: o semicírculo externo de raio
(a curva ) e o semicírculo interno de raio (a curva ), com a região entre esses semicírculos. - Quando giramos um semicírculo, com eixo de rotação sendo o seu diâmetro (no nosso caso, o eixo
), obtemos uma esfera completa. Portanto: - Girando o semicírculo externo de raio
obtemos uma esfera de raio . - Girando o semicírculo interno de raio
obtemos uma esfera de raio .
- Girando o semicírculo externo de raio
- O sólido pedido é, portanto, a diferença entre a esfera maior (de raio
) e a esfera menor (de raio ) — ou seja, uma casca esférica.
Passo 3
Justificação rápida (mostrando por que um semicírculo gera uma esfera) — usando o método dos discos (útil para a prova):
- Para um semicírculo de raio
descrito por com , ao girar em torno do eixo a seção perpendicular a em uma abscissa é um círculo de raio . A área desse círculo é
- O volume da esfera é obtido integrando essas áreas ao longo de
:
- Calculando a integral:
Isso mostra que o semicírculo rotacionado dá a esfera de volume
.
Passo 4
Calcule o volume da esfera maior (raio
).
- Usando a fórmula
com :
- Como
, temos
(Observe que
.)
Passo 5
Calcule o volume da esfera menor (raio
).
- Com
:
Passo 6
O volume do sólido gerado (a casca esférica) é a diferença entre os volumes:
Fatorando
para uma forma mais compacta: