Escolha um dos itens e calcule o volume do sólido obtido pela rotação, x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3 e y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem
1 \le x^{2}+y^{2} \le 3 \quad\text{e}\quad y \ge 0.
Informações dadas:
  • A região no plano é a “meia-corona” (a parte superior, y\ge0, de uma coroa circular) entre as circunferências de raio 1 e de raio \sqrt{3}.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
    A tarefa é calcular o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Interpretação geométrica (passo importante para visualizar o que vamos calcular).
  • A região no plano é formada por dois semicírculos concêntricos: o semicírculo externo de raio \sqrt{3} (a curva x^{2}+y^{2}=3,\\ y\ge0) e o semicírculo interno de raio 1 (a curva x^{2}+y^{2}=1,\\ y\ge0), com a região entre esses semicírculos.
  • Quando giramos um semicírculo, com eixo de rotação sendo o seu diâmetro (no nosso caso, o eixo x), obtemos uma esfera completa. Portanto:
    • Girando o semicírculo externo de raio \sqrt{3} obtemos uma esfera de raio \sqrt{3}.
    • Girando o semicírculo interno de raio 1 obtemos uma esfera de raio 1.
  • O sólido pedido é, portanto, a diferença entre a esfera maior (de raio \sqrt{3}) e a esfera menor (de raio 1) — ou seja, uma casca esférica.

Passo 3

Justificação rápida (mostrando por que um semicírculo gera uma esfera) — usando o método dos discos (útil para a prova):
  • Para um semicírculo de raio R descrito por y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} com x\in[-R,R], ao girar em torno do eixo x a seção perpendicular a x em uma abscissa x é um círculo de raio y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}. A área desse círculo é
A(x)=\pi\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr).
  • O volume da esfera é obtido integrando essas áreas ao longo de x:
V=\int_{-R}^{R} A(x)\,dx=\int_{-R}^{R}\pi\bigl(R^{2}-x^{2}\bigr)\,dx.
  • Calculando a integral:
V=\pi\left[\;R^{2}x-\frac{x^{3}}{3}\;\right]_{-R}^{R} =\pi\left(2R^{3}-\frac{2R^{3}}{3}\right) =\frac{4}{3}\pi R^{3}.
Isso mostra que o semicírculo rotacionado dá a esfera de volume \tfrac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 4

Calcule o volume da esfera maior (raio \sqrt{3}).
  • Usando a fórmula \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi R^{3} com R=\sqrt{3}:
V_{\text{maior}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(\sqrt{3}\bigr)^{3}.
  • Como \bigl(\sqrt{3}\bigr)^{3}=3\sqrt{3}, temos
V_{\text{maior}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 3\sqrt{3}=4\pi\sqrt{3}.
(Observe que \frac{4}{3}\cdot 3 =4.)

Passo 5

Calcule o volume da esfera menor (raio 1).
  • Com R=1:
V_{\text{menor}}=\frac{4}{3}\pi\cdot 1^{3}=\frac{4}{3}\pi.

Passo 6

O volume do sólido gerado (a casca esférica) é a diferença entre os volumes:
V=V_{\text{maior}}-V_{\text{menor}} =4\pi\sqrt{3}-\frac{4}{3}\pi.
Fatorando \tfrac{4}{3}\pi para uma forma mais compacta:
V=\frac{4}{3}\pi\bigl(3\sqrt{3}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}\pi\bigl(3\sqrt{3}-1\bigr)

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