Escolha um dos itens e calcule o volume do sólido obtido pela rotação,
, do conjunto de todos os pares
tais que:
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo
do conjunto de todos os pares
tais que:
e
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A pergunta é: qual é o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região descrita por essas três condições?
Passo 2
Vamos entender a região no plano
antes de rotacionar, desenhando mentalmente as curvas importantes:
- O círculo
tem raio e centro na origem. - A reta
passa pela origem com declive . - Há também a restrição
.
Observação importante: como
e também
, para haver
precisamos de
, isto é
. Logo a região está no semieixo
.
Precisamos descobrir onde a reta e o círculo se interceptam (esse ponto divide a região em duas partes, importante para integrar). Substituindo
no círculo:
Tomando a raiz positiva (já vimos que
):
Assim, para
a reta
fica abaixo do arco do círculo, ou seja o teto da região é
. Para
o teto da região é o semicírculo
(pois aí o círculo está abaixo da reta).
Passo 3
Explico o método que vamos usar: como a rotação é em torno do eixo
e a região é descrita por
, o sólido obtido é obtido por “discos” de raio
. A fórmula do volume por discos é:
onde
é a função que dá a borda superior da região (a distância do eixo
até a curva superior),
e
são os extremos em
. Aqui cada disco tem área
e integramos ao longo de
.
Passo 4
Aplicando a ideia de que o teto é a menor das duas curvas
e
, e usando a divisão em dois intervalos encontrada no Passo 2, escrevemos o volume como soma de dois integrals:
Simplificando a segunda integranda (
), temos
Passo 5
Calculo do primeiro integral:
Como
, obtemos
Passo 6
Calculo do segundo integral:
Avalio em
:
Avalio em
:
Subtraindo,
Multiplicando por
dá a contribuição
Passo 7
Agora somamos as duas contribuições encontradas nos Passos 5 e 6:
Agrupando os termos com
:
Portanto