Escolha um dos itens e calcule o volume do sólido obtido pela rotação, x, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que:
0 \leq y \leq 3 x e x^{2}+y^{2} \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares (x,y) tais que:
0 \leq y \leq 3x
e
x^{2}+y^{2} \leq 2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i)}\quad y\geq 0,
\text{(ii)}\quad y\leq 3x,
\text{(iii)}\quad x^{2}+y^{2}\leq 2 \;(\text{disco de raio }\sqrt{2}).
A pergunta é: qual é o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região descrita por essas três condições?

Passo 2

Vamos entender a região no plano xy antes de rotacionar, desenhando mentalmente as curvas importantes:
  • O círculo x^{2}+y^{2}=2 tem raio \sqrt{2} e centro na origem.
  • A reta y=3x passa pela origem com declive 3.
  • Há também a restrição y\ge 0.
Observação importante: como y\ge 0 e também y\le 3x, para haver y\ge0 precisamos de 3x\ge0, isto é x\ge0. Logo a região está no semieixo x\ge0.
Precisamos descobrir onde a reta e o círculo se interceptam (esse ponto divide a região em duas partes, importante para integrar). Substituindo y=3x no círculo:
x^{2}+(3x)^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad 10x^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{5}.
Tomando a raiz positiva (já vimos que x\ge0):
x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}.
Assim, para 0\le x\le \tfrac{1}{\sqrt{5}} a reta y=3x fica abaixo do arco do círculo, ou seja o teto da região é y=3x. Para \tfrac{1}{\sqrt{5}}\le x\le \sqrt{2} o teto da região é o semicírculo y=\sqrt{2-x^{2}} (pois aí o círculo está abaixo da reta).

Passo 3

Explico o método que vamos usar: como a rotação é em torno do eixo x e a região é descrita por 0\le y\le f(x), o sólido obtido é obtido por “discos” de raio f(x). A fórmula do volume por discos é:
V=\pi\int_{a}^{b} \bigl(f(x)\bigr)^{2}\,dx,
onde f(x) é a função que dá a borda superior da região (a distância do eixo x até a curva superior), a e b são os extremos em x. Aqui cada disco tem área \pi [\text{raio}]^{2}=\pi f(x)^{2} e integramos ao longo de x.

Passo 4

Aplicando a ideia de que o teto é a menor das duas curvas 3x e \sqrt{2-x^{2}}, e usando a divisão em dois intervalos encontrada no Passo 2, escrevemos o volume como soma de dois integrals:
V=\pi\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} (3x)^{2}\,dx \;+\; \pi\int_{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{2}} \bigl(\sqrt{2-x^{2}}\bigr)^{2}\,dx.
Simplificando a segunda integranda ( (\sqrt{2-x^{2}})^{2}=2-x^{2}), temos
V=\pi\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} 9x^{2}\,dx \;+\; \pi\int_{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{2}} (2-x^{2})\,dx.

Passo 5

Calculo do primeiro integral:
\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} 9x^{2}\,dx = 9\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} =3\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{3}.
Como \left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{3}=\tfrac{1}{5^{3/2}}=\tfrac{1}{5\sqrt{5}}, obtemos
\pi\int_{0}^{\tfrac{1}{\sqrt{5}}} 9x^{2}\,dx = \pi\cdot 3\cdot \tfrac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{3\pi}{5\sqrt{5}}.

Passo 6

Calculo do segundo integral:
\int_{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{2}} (2-x^{2})\,dx = \left[2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{2}}.
Avalio em x=\sqrt{2}:
2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2})^{3}}{3}=2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{3}.
Avalio em x=\tfrac{1}{\sqrt{5}}:
2\cdot \tfrac{1}{\sqrt{5}}-\frac{\left(\tfrac{1}{\sqrt{5}}\right)^{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{3\cdot 5^{3/2}} = \frac{2}{\sqrt{5}}-\frac{1}{15\sqrt{5}} = \frac{29}{15\sqrt{5}}.
Subtraindo,
\int_{\tfrac{1}{\sqrt{5}}}^{\sqrt{2}} (2-x^{2})\,dx = \frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{29}{15\sqrt{5}}.
Multiplicando por \pi dá a contribuição
\pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{29}{15\sqrt{5}}\right).

Passo 7

Agora somamos as duas contribuições encontradas nos Passos 5 e 6:
V=\frac{3\pi}{5\sqrt{5}} \;+\; \pi\left(\frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{29}{15\sqrt{5}}\right).
Agrupando os termos com \tfrac{1}{\sqrt{5}}:
\frac{3\pi}{5\sqrt{5}}-\pi\cdot\frac{29}{15\sqrt{5}} =\pi\left(\frac{9-29}{15\sqrt{5}}\right) =\pi\left(-\frac{20}{15\sqrt{5}}\right) =-\frac{4\pi}{3\sqrt{5}}.
Portanto
V=\frac{4\pi\sqrt{2}}{3}-\frac{4\pi}{3\sqrt{5}}=\frac{4\pi}{3}\Bigl(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr).

Resposta

V=\frac{4\pi}{3}\Bigl(\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr)

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