Se
e se
, encon- tre uma fórmula para
no intervalo
e no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função [f) definida por partes em
(com exceção de
) e diz que ela é periódica de período
via
. As informações e o que se pede são:
- Informações dadas:
e também . - Perguntas do enunciado:
- Encontrar uma fórmula para
no intervalo . - Encontrar uma fórmula para
no intervalo .]
- Encontrar uma fórmula para
Passo 2
Entendendo o que significa
: isso quer dizer que
é periódica com período
. Na prática, para calcular
em qualquer
podemos deslocar
por um múltiplo inteiro de
até que caia no intervalo onde a função já foi definida (aqui: em
). Ou seja, se escolhermos um inteiro
tal que
, então
A tarefa é escolher
apropriado para cada intervalo pedido, de modo que
pertença a um dos dois ramos
ou
.
Passo 3
Vamos tratar primeiro do intervalo
. Se
então subtraindo
obtemos
Note que eu peguei esse dado observando que
está entre
e
, logo
está entre
e
. Isso coloca
exatamente no ramo
da definição original.
Passo 4
Como
, usamos a fórmula do ramo correspondente, que é
para
. Substituindo
temos
Simplificando,
Passo 5
Agora tratamos do intervalo
. Aqui podemos subtrair um múltiplo de
que nos leve ao intervalo
. Note que
, então se
temos
Eu escolhi subtrair
porque é o menor múltiplo de
que coloca
dentro de
(especificamente no subintervalo
).
Passo 6
Como
, usamos a fórmula do ramo
, que é
. Substituindo
obtemos
Portanto,