Se f(x)=\left\{\begin{array}{lr}x+1, & -1<x<0, \\\ x, & 0<x<1,\end{array}\right. e se f(x+2)=f(x), encon- tre uma fórmula para f(x) no intervalo 1<x<2 e no intervalo 8<x<9.

Passo 1

O enunciado dá a função [f) definida por partes em -1<x<1 (com exceção de x=0) e diz que ela é periódica de período 2 via f(x+2)=f(x). As informações e o que se pede são:
  • Informações dadas: f(x)=\begin{cases} x+1, & -1<x<0,\\[4pt] x, & 0<x<1, \end{cases}e também \;f(x+2)=f(x)\] para todo \(x.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Encontrar uma fórmula para f(x) no intervalo 1<x<2.
    2. Encontrar uma fórmula para f(x) no intervalo 8<x<9.]

Passo 2

Entendendo o que significa f(x+2)=f(x): isso quer dizer que f é periódica com período 2. Na prática, para calcular f em qualquer x podemos deslocar x por um múltiplo inteiro de 2 até que caia no intervalo onde a função já foi definida (aqui: em -1<x<1). Ou seja, se escolhermos um inteiro k tal que x-2k\in(-1,1), então
f(x)=f(x-2k).
A tarefa é escolher k apropriado para cada intervalo pedido, de modo que x-2k pertença a um dos dois ramos -1<x<0 ou 0<x<1.

Passo 3

Vamos tratar primeiro do intervalo 1<x<2. Se x\in(1,2) então subtraindo 2 obtemos
x-2\in(-1,0).
Note que eu peguei esse dado observando que x está entre 1 e 2, logo x-2 está entre -1 e 0. Isso coloca x-2 exatamente no ramo -1<t<0 da definição original.

Passo 4

Como x-2\in(-1,0), usamos a fórmula do ramo correspondente, que é f(t)=t+1 para -1<t<0. Substituindo t=x-2 temos
f(x)=f(x-2)=(x-2)+1.
Simplificando,
f(x)=x-1\quad\text{para}\quad 1<x<2.

Passo 5

Agora tratamos do intervalo 8<x<9. Aqui podemos subtrair um múltiplo de 2 que nos leve ao intervalo (-1,1). Note que 8=4\cdot 2, então se x\in(8,9) temos
x-8\in(0,1).
Eu escolhi subtrair 8 porque é o menor múltiplo de 2 que coloca x dentro de (-1,1) (especificamente no subintervalo 0<x<1).

Passo 6

Como x-8\in(0,1), usamos a fórmula do ramo 0<t<1, que é f(t)=t. Substituindo t=x-8 obtemos
f(x)=f(x-8)=x-8.
Portanto,
f(x)=x-8\quad\text{para}\quad 8<x<9.

Resposta

f(x)=x-1 para 1<x<2.
f(x)=x-8 para 8<x<9.

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