Escolha um dos itens e resolva:
Encontre uma equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado:
x^2+y^2-z^2=1, (2,1,2)

Passo 1

O enunciado pede pra achar a equação do plano tangente à superfície de nível definida por x^2+y^2-z^2=1 no ponto P=(2,1,2). Esse é um problema de cálculo de derivadas parciais e plano tangente via gradiente.
A gente sabe que, para uma superfície de nível dada por F(x,y,z)=c, o vetor gradiente nabla F é perpendicular ao plano tangente. Então a equação do plano tangente é dada por nabla F(P)cdotl((x,y,z)-Pr)=0.

Passo 2

Definimos F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2. Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x=2x,partial Fpartial y=2y,partial Fpartial z=-2z
Logo, nabla F(x,y,z)=(2x,2y,-2z).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(2,1,2), obtendo
nabla F(2,1,2)=(2cdot2,,2cdot1,,-2cdot2)=(4,2,-4)

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente:
4(x-2)+2(y-1)-4(z-2)=0
Desenvolvendo e simplificando, temos:
4x-8+2y-2-4z+8=0
4x+2y-4z-2=0
Dividindo tudo por 2:
2x+y-2z-1=0

Resposta

2x + y - 2z = 1

Exercícios relacionados