Sejam f e g duas funções reais de R em R assim definidas:
f(x)=ll x+1 & se x >= 0 -x+1 & se x<0 e g(x)=3 x-2
Determine f ogego f.

Passo 1

Temos duas funções definidas por partes: f:RtoR e g:RtoR. A tarefa é calcular as composições fcirc g e gcirc f. Vamos usar o conceito de composição: (fcirc g)(x)=fl(g(x)r) e (gcirc f)(x)=gl(f(x)r).

Passo 2

Para obter fcirc g, escrevemos f(g(x)) e observamos que a definição de f muda conforme o sinal de g(x)=3x-2. Primeiro identificamos o ponto em que g(x) muda de sinal:
Resolvendo 3x-2>=0 temos x>=tfrac23. Logo,
a) Se x>=tfrac23, então g(x)>=0 e
f(g(x))=g(x)+1=(3x-2)+1=3x-1
b) Se x, então g(x)<0 e
f(g(x)))=-g(x)+1=-(3x-2)+1=-3x+3

Passo 3

Para obter gcirc f, escrevemos g(f(x)) e usamos que f(x) muda conforme o sinal de x.
a) Se x>=0, f(x)=x+1 e
g(f(x))=3(x+1)-2=3x+3-2=3x+1
b) Se x<0, f(x)=-x+1 e
g(f(x))=3(-x+1)-2=-3x+3-2=-3x+1

Resposta

(fcirc g)(x)= 3x-1 & se x>= tfrac23 -3x+3 & se x< tfrac23 , (gcirc f)(x)= 3x+1 & se x>= 0 -3x+1 & se x<0

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