Escolha um dos itens a seguir e encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, encontre os valores de máximo e mínimos locais de f , diga em quais intervalos a função tem concavidade para cima ou para baixo e por fim escreva quais são os pontos de inflexão.
f(x)=2+2 x^{2}-x^{4}.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f. Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve encontrar.
  • Função dada: f(x)=2+2x^{2}-x^{4}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    1. Em quais intervalos f é crescente e em quais é decrescente?
    2. Quais são os valores (pontos) de máximo e mínimo locais de f?
    3. Em quais intervalos a função tem concavidade para cima e em quais tem concavidade para baixo?
    4. Quais são os pontos de inflexão?
Nenhuma outra informação foi fornecida; o domínio de f é todo \mathbb{R} porque é um polinômio.

Passo 2

Ideia e cálculo da primeira derivada (para monotonicidade e extremos locais).
  • Lembrete rápido: a derivada f'(x) representa a inclinação (taxa de variação) da função em cada ponto. Se f'(x)>0 num intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente aí. Pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe são candidatos a extremos locais (máximo ou mínimo).
  • Regra que vamos usar: regra do poder (power rule). Para x^{n}, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. A derivada é linear: \dfrac{d}{dx}(a g(x)+b h(x))=a g'(x)+b h'(x).
Calculemos f'(x):
f(x)=2+2x^{2}-x^{4}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=0+2\cdot 2x - 4x^{3}=4x-4x^{3}.
Fatorando:
f'(x)=4x(1-x^{2})=4x(1-x)(1+x).
Os pontos críticos (onde f'(x)=0) são soluções de 4x(1-x)(1+x)=0, ou seja:
x=-1,\quad x=0,\quad x=1.

Passo 3

Determinação dos intervalos de crescimento/decrescimento e classificação dos extremos locais (teste da primeira derivada).
Vamos fazer um estudo de sinais de f'(x)=4x(1-x)(1+x). Como 4>0, o sinal vem dos fatores x, (1-x) e (1+x). Os pontos que mudam sinal são -1,0,1. Consideramos os intervalos:
(-\infty,-1),\;(-1,0),\;(0,1),\;(1,\infty).
Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator e, consequentemente, de f':
  • Para x<-1: x<0\Rightarrow x negativo; 1-x>0 (porque subtrai número negativo grande); 1+x<0. Produto: negativo \times positivo \times negativo = positivo. Logo f'(x)>0 em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<0: x<0\Rightarrow x negativo; 1-x>0; 1+x>0. Produto: negativo \times positivo \times positivo = negativo. Logo f'(x)<0 em (-1,0).
  • Para 0<x<1: x>0\Rightarrow x positivo; 1-x>0; 1+x>0. Produto: positivo \times positivo \times positivo = positivo. Logo f'(x)>0 em (0,1).
  • Para x>1: x>0\Rightarrow x positivo; 1-x<0; 1+x>0. Produto: positivo \times negativo \times positivo = negativo. Logo f'(x)<0 em (1,\infty).
Conclusões sobre monotonidade:
  • f é crescente em (-\infty,-1) e em (0,1).
  • f é decrescente em (-1,0) e em (1,\infty).
Classificação dos pontos críticos (pela mudança de sinal de f'):
  • Em x=-1: f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo local em x=-1.
  • Em x=0: f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local em x=0.
  • Em x=1: f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo local em x=1.
Agora calculamos os valores de f nesses pontos (para dar os pontos/exactos valores dos extremos):
f(-1)=2+2(-1)^{2}-(-1)^{4}=2+2\cdot1-1=2+2-1=3.
f(0)=2+2\cdot0^{2}-0^{4}=2.
f(1)=2+2\cdot1^{2}-1^{4}=2+2-1=3.
Portanto:
  • Máximos locais em (-1,3) e (1,3).
  • Mínimo local em (0,2).
Observação (opcional, para contexto): como \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=-\infty (termo dominante -x^{4}), não existe mínimo global (vai a -\infty), mas existe um máximo global finito: entre os pontos críticos, o valor maior é 3, logo 3 é o máximo global atingido em x=\pm1.

Passo 4

Concavidade, segunda derivada e pontos de inflexão.
  • Lembrete rápido: a segunda derivada f''(x) indica a curvatura da função. Se f''(x)>0 em um intervalo, a função é côncava para cima (curva virada para cima) ali; se f''(x)<0, é côncava para baixo. Pontos onde f''(x)=0 e onde o sinal de f'' muda são pontos de inflexão.
Calculamos f''(x) a partir de f'(x)=4x-4x^{3}:
f''(x)=4-12x^{2}.
Igualando a zero para achar possíveis pontos de inflexão:
4-12x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 12x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\tfrac{1}{3}.
Assim:
x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.
Estudo do sinal de f''. Os intervalos relevantes são
(-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}),\;(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}),\;(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
  • Para x=0 (intervalo central) temos f''(0)=4>0 então f''>0 em (-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}): concavidade para cima aí.
  • Para |x|>\tfrac{1}{\sqrt{3}} temos 12x^{2}>4\Rightarrow f''(x)=4-12x^{2}<0: concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}}) e em (\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
Como f'' troca de sinal em x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}, esses pontos são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas desses pontos (valor de f nesses x).
Calcule f\bigl(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr). Note que \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{3} e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)^{4}=\tfrac{1}{9}. Então
f\!\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=2+2\cdot\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{9}.
Colocando em denominar comum 9:
2=\tfrac{18}{9},\quad 2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}=\tfrac{6}{9},
f\!\left(\pm\tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{18}{9}+\tfrac{6}{9}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{23}{9}.
Portanto os pontos de inflexão são
\left(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\right)\quad\text{e}\quad\left(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\right).

Passo 5

Resumo final dos resultados (já obtidos nos passos anteriores), com interpretação curta para fixar a ideia:
  • Crescimento/decrescimento: usei f' fatorada e um quadro de sinais para ver onde f'>0 ou f'<0.
  • Extremos locais: foram classificados olhando a mudança de sinal de f' em cada ponto crítico.
  • Concavidade e pontos de inflexão: calculei f'' e observei onde ela é positiva/negativa e onde muda de sinal.
Força aí — já tem todas as informações pedidas, com números exatos e pontos explicitados.

Resposta

A função é crescente em (-\infty,-1)\cup(0,1).
A função é decrescente em (-1,0)\cup(1,\infty).
Máximos locais: (-1,3) e (1,3).
Mínimo local: (0,2).
Concavidade para cima em \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).
Concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{\sqrt{3}})\cup(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\infty).
Pontos de inflexão: \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr) e \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{23}{9}\bigr).

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