Escolha um dos itens a seguir e encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, encontre os valores de máximo e mínimos locais de f , diga em quais intervalos a função tem concavidade para cima ou para baixo e por fim escreva quais são os pontos de inflexão.
.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
. Vou listar claramente o que foi dado e o que se deve encontrar.
- Função dada:
. - Perguntas que o enunciado faz:
- Em quais intervalos
é crescente e em quais é decrescente? - Quais são os valores (pontos) de máximo e mínimo locais de
? - Em quais intervalos a função tem concavidade para cima e em quais tem concavidade para baixo?
- Quais são os pontos de inflexão?
- Em quais intervalos
Nenhuma outra informação foi fornecida; o domínio de
é todo
porque é um polinômio.
Passo 2
Ideia e cálculo da primeira derivada (para monotonicidade e extremos locais).
-
Lembrete rápido: a derivada
representa a inclinação (taxa de variação) da função em cada ponto. Se num intervalo, é crescente ali; se , é decrescente aí. Pontos onde ou onde não existe são candidatos a extremos locais (máximo ou mínimo). -
Regra que vamos usar: regra do poder (power rule). Para
, . A derivada é linear: .
Calculemos
:
Derivando termo a termo:
Fatorando:
Os pontos críticos (onde
) são soluções de
, ou seja:
Passo 3
Determinação dos intervalos de crescimento/decrescimento e classificação dos extremos locais (teste da primeira derivada).
Vamos fazer um estudo de sinais de
. Como
, o sinal vem dos fatores
,
e
. Os pontos que mudam sinal são
. Consideramos os intervalos:
Em cada intervalo verificamos o sinal de cada fator e, consequentemente, de
:
-
Para
: negativo; (porque subtrai número negativo grande); . Produto: negativo positivo negativo = positivo. Logo em . -
Para
: negativo; ; . Produto: negativo positivo positivo = negativo. Logo em . -
Para
: positivo; ; . Produto: positivo positivo positivo = positivo. Logo em . -
Para
: positivo; ; . Produto: positivo negativo positivo = negativo. Logo em .
Conclusões sobre monotonidade:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em e em .
Classificação dos pontos críticos (pela mudança de sinal de
):
- Em
: muda de positivo para negativo máximo local em . - Em
: muda de negativo para positivo mínimo local em . - Em
: muda de positivo para negativo máximo local em .
Agora calculamos os valores de
nesses pontos (para dar os pontos/exactos valores dos extremos):
Portanto:
- Máximos locais em
e . - Mínimo local em
.
Observação (opcional, para contexto): como
(termo dominante
), não existe mínimo global (vai a
), mas existe um máximo global finito: entre os pontos críticos, o valor maior é
, logo
é o máximo global atingido em
.
Passo 4
Concavidade, segunda derivada e pontos de inflexão.
- Lembrete rápido: a segunda derivada
indica a curvatura da função. Se em um intervalo, a função é côncava para cima (curva virada para cima) ali; se , é côncava para baixo. Pontos onde e onde o sinal de muda são pontos de inflexão.
Calculamos
a partir de
:
Igualando a zero para achar possíveis pontos de inflexão:
Assim:
Estudo do sinal de
. Os intervalos relevantes são
- Para
(intervalo central) temos então em : concavidade para cima aí. - Para
temos : concavidade para baixo em e em .
Como
troca de sinal em
, esses pontos são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas desses pontos (valor de
nesses
).
Calcule
. Note que
e
. Então
Colocando em denominar comum
:
Portanto os pontos de inflexão são
Passo 5
Resumo final dos resultados (já obtidos nos passos anteriores), com interpretação curta para fixar a ideia:
- Crescimento/decrescimento: usei
fatorada e um quadro de sinais para ver onde ou . - Extremos locais: foram classificados olhando a mudança de sinal de
em cada ponto crítico. - Concavidade e pontos de inflexão: calculei
e observei onde ela é positiva/negativa e onde muda de sinal.
Força aí — já tem todas as informações pedidas, com números exatos e pontos explicitados.
Resposta
A função é crescente em
.
A função é decrescente em .
Máximos locais: e
.
Mínimo local: .
Concavidade para cima em .
Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão: e
.
A função é decrescente em
Máximos locais:
Mínimo local:
Concavidade para cima em
Concavidade para baixo em
Pontos de inflexão: