Escolha duas funções abaixo e esboçe as suas curvas. Para auxiliar no esboço das curvas calcule os possíveis pontos de máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos. Explique cada passo com riqueza de detalhes.
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva da função e calcular/identificar, com explicações detalhadas:
  • domínio da função;
  • interseções com os eixos (zeros e ordenada na origem);
  • pontos críticos e se há máximos ou mínimos locais;
  • pontos de inflexão e intervalos de concavidade;
  • assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas);
  • indicação de como fazer o esboço (pontos importantes e comportamento nos extremos).
A função dada é f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1}. Não há outras informações numéricas fornecidas. Vou usar só essa fórmula para obter tudo que é pedido.

Passo 2

Domínio: o denominador é x^{2}+1. Como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, o denominador nunca zera. Portanto o domínio é
\mathbb{R}.
Simetria: calcular f(-x):
f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1}=\frac{-x^3}{x^2+1}=-f(x).
Logo f é uma função ímpar (simétrica em relação à origem). Isso já dá uma economia: o comportamento para x<0 é o espelho simétrico (rotacionado 180°) do comportamento para x>0.

Passo 3

Interseção com o eixo x (zerar a função):
f(x)=0 \Longleftrightarrow \frac{x^3}{x^2+1}=0 \Longleftrightarrow x^3=0 \Longleftrightarrow x=0.
Então o único zero é x=0.
Interseção com o eixo y (valor em x=0):
f(0)=\frac{0^3}{0^2+1}=0.
Portanto a curva passa pela origem (0,0). Como f é ímpar, não haverá outros interceptos não simétricos.
Observação qualitativa: como o zero vem de x^3 (multiplicidade ímpar), a curva atravessa o eixo x em 0 (não fica “colada” ao eixo como multiplicidade par).

Passo 4

Vamos achar f'(x) passo a passo usando a regra do quociente. Para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=x^3 e v(x)=x^2+1,
a regra do quociente dá
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Calcule as derivadas simples:
u'(x)=3x^2,\qquad v'(x)=2x.
Substituindo:
f'(x)=\frac{3x^2(x^2+1)-x^3(2x)}{(x^2+1)^2}.
Agora simplifico o numerador:
3x^2(x^2+1)-2x^4 = 3x^4+3x^2-2x^4 = x^4+3x^2.
Logo
f'(x)=\frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}.
Fatorando x^2 no numerador:
f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.
Análise do sinal de f'(x):
  • O denominador (x^2+1)^2>0 para todo x.
  • O fator x^2\ge0, e x^2+3>0 sempre.
    Portanto f'(x)\ge0 para todo x, e f'(x)=0 somente quando x^2=0, ou seja em x=0.
Interpretação:
  • Em cada intervalo x<0 e x>0 temos f'(x)>0 (estritamente positivo), então a função é estritamente crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
  • Em x=0 a derivada é zero, mas o sinal de f' não muda (positivo à esquerda e à direita), portanto não há máximo nem mínimo local em x=0. É um ponto crítico sem troca de sinal — pode ser um ponto de inflexão com tangente horizontal (veremos com a segunda derivada).
Conclusão de monotonicidade: f é crescente em toda a reta (mais precisamente crescente estritamente em (-\infty,0) e em (0,\infty); no ponto 0 a derivada anula, mas a função não possui extremum local).

Passo 5

Vamos derivar f'(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} onde N(x)=x^4+3x^2 e D(x)=(x^2+1)^2. Usa-se novamente a regra do quociente:
f''(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^2}.
Calcule:
N'(x)=4x^3+6x,\qquad D'(x)=2(x^2+1)\cdot 2x=4x(x^2+1).
Agora o numerador:
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot 4x(x^2+1).
Fatorando (x^2+1) e simplificando (fiz as contas passo a passo):
\text{numerador} = (x^2+1)\big[(4x^3+6x)(x^2+1)-4x(x^4+3x^2)\big].
Expandindo e simplificando o que está entre colchetes obtém-se
(4x^3+6x)(x^2+1)-4x(x^4+3x^2) = -2x^3+6x = -2x(x^2-3).
Portanto o numerador total é
-2x(x^2+1)(x^2-3).
Como D(x)^2=(x^2+1)^4, podemos cancelar um fator (x^2+1), ficando
f''(x)=\frac{-2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}.
Zerar f''(x): resolver -2x(x^2-3)=0 dá as soluções
x=0,\qquad x=\pm\sqrt{3}.
O denominador nunca zera, então esses são os únicos pontos onde f'' pode trocar de sinal — candidatos a pontos de inflexão.
Teste de concavidade por intervalos (mais fácil olhando o sinal de f''):
  • Denominador positivo sempre. O sinal de f'' é o oposto do sinal de x(x^2-3).
  • Para x>\sqrt{3}: x>0 e x^2-3>0 então x(x^2-3)>0 e f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para 0<x<\sqrt{3}: x>0 e x^2-3<0 então x(x^2-3)<0 e f''>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para -\sqrt{3}<x<0: x<0 e x^2-3<0 então x(x^2-3)>0 e f''<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x<-\sqrt{3}: x<0 e x^2-3>0 então x(x^2-3)<0 e f''>0 ⇒ concavidade para cima.
Resumo das concavidades:
\begin{aligned} (-\infty,-\sqrt{3})&:\\ \text{côncava para cima},\\\ (-\sqrt{3},0)&:\\ \text{côncava para baixo},\\\ (0,\sqrt{3})&:\\ \text{côncava para cima},\\\ (\sqrt{3},\infty)&:\\ \text{côncava para baixo}. \end{aligned}ôôôô
Como o sinal de f'' muda em x=-\sqrt{3}, x=0 e x=\sqrt{3}, esses três valores são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas ( x,f(x)):
f(0)=0.
f(\pm\sqrt{3})=\frac{(\pm\sqrt{3})^3}{(\pm\sqrt{3})^2+1}=\frac{\pm 3\sqrt{3}}{3+1}=\pm\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Portanto os pontos de inflexão são
\bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr),\quad (0,0),\quad \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr).
Observação: em x=0 a tangente é horizontal (pois f'(0)=0) e a concavidade muda de baixo para cima, então 0 é um ponto de inflexão horizontal (um ponto “achatado” onde a curva muda de curvatura).

Passo 6

Graus: numerador tem grau 3, denominador grau 2. Grau do numerador = grau do denominador + 1 ⇒ existe assíntota oblíqua (reta) ao infinito. Para encontrá-la faço a divisão polinomial:
Dividindo x^3 por x^2+1:
  • Primeiro termo do quociente é x, porque x\cdot(x^2+1)=x^3+x.
  • Subtraindo de x^3+0x^2+0x resta -x.
Assim
\frac{x^3}{x^2+1}=x+\frac{-x}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1}.
Portanto, quando |x|\to\infty, o último termo tende a 0, logo a assíntota oblíqua é a reta
y=x.
Mais: analisar de que lado a função se aproxima da reta:
f(x)-x=-\frac{x}{x^2+1}.
  • Para x\to+\infty: -\dfrac{x}{x^2+1}\sim -\dfrac{1}{x}<0 f(x)<x e aproxima por baixo.
  • Para x\to-\infty: -\dfrac{x}{x^2+1}\sim -\dfrac{1}{x}>0 (pois 1/x é negativo) → f(x)>x e aproxima por cima.
Não existem assíntotas verticais pois x^2+1\neq0 para reais. Também não há assíntota horizontal (o comportamento é oblíquo).

Passo 7

Calculemos alguns pontos simples (úteis para desenhar):
\begin{aligned} f(-3)&=\frac{-27}{9+1}=-\tfrac{27}{10}=-2{,}7,\\\ f(-2)&=\frac{-8}{4+1}=-\tfrac{8}{5}=-1{,}6,\\\ f(-1)&=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,\\\ f(0)&=0,\\\ f(1)&=\tfrac{1}{2}=0{,}5,\\\ f(2)&=\tfrac{8}{5}=1{,}6,\\\ f(3)&=\tfrac{27}{10}=2{,}7. \end{aligned}
E os pontos de inflexão aproximados:
\sqrt{3}\approx 1{,}732,\qquad f(\sqrt{3})=\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1{,}299.
Esses pontos mostram que a curva cresce atravessando a origem, tem tangente horizontal em 0, fica côncava para baixo entre -\sqrt{3} e 0, muda para cima entre 0 e \sqrt{3}, etc.
Comportamento nos extremos:
  • Quando x\to +\infty, f(x)\to +\infty seguindo aproximadamente a reta y=x por baixo.
  • Quando x\to -\infty, f(x)\to -\infty seguindo aproximadamente a reta y=x por cima.

Passo 8

  1. Desenha os eixos e a reta assimptótica y=x (linha em 45°).
  2. Marca a origem (0,0) (interseção com os eixos).
  3. Marca os pontos de inflexão (-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}), (0,0), (\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}). Use aproximações numéricas se preferir.
  4. Marca alguns pontos de referência como (-2,-1{,}6), (-1,-0{,}5), (1,0{,}5), (2,1{,}6), (3,2{,}7).
  5. Entre os pontos, ligue com uma curva que respeite:
    • crescente para x<0 e para x>0;
    • concavidade conforme os intervalos do passo 5;
    • tangente horizontal em 0 (a curva “achata” ao passar pela origem);
    • aproximação para a reta y=x quando |x| cresce (à direita a curva fica sempre um pouco abaixo de y=x, à esquerda um pouco acima).
  6. Lembre-se da simetria ímpar: o ramo à esquerda é o giro de 180° do ramo à direita.
Se fizer isso com cuidado o esboço ficará correto qualitativamente.

Passo 9

  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Simetria: função ímpar ( f(-x)=-f(x)), simétrica em relação à origem.
  • Interseções com eixos: única interseção (0,0).
  • Derivada: f'(x)=\frac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\ge0,\quad f'(x)=0\\ \text{somente em }x=0.A função é crescente em (-\infty,0) e em (0,\infty). Não existem máximos ou mínimos locais.
  • Segunda derivada: f''(x)=\frac{-2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}.Pontos de inflexão em x=-\sqrt{3},0,\sqrt{3} com coordenadas \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr),\quad (0,0),\quad \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr).Concavidade alterna conforme listado no passo 5.
  • Assíntotas: sem assíntotas verticais; assíntota oblíqua \displaystyle y=x (pois \dfrac{x^3}{x^2+1}=x-\dfrac{x}{x^2+1}).
  • Comportamento nos extremos: segue a reta y=x quando |x|\to\infty (por baixo à direita, por cima à esquerda).
  • Pontos numéricos úteis para esboço: (-3,-2{,}7), (-2,-1{,}6), (-1,-0{,}5), (0,0), (1,0{,}5), (2,1{,}6), (3,2{,}7).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Simetria: função ímpar ( f(-x)=-f(x)).
Interseção com eixos: (0,0) (única).
Derivada: f'(x)=\dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}\ge0; função crescente para x\ne0; nenhum máximo ou mínimo local.
Pontos de inflexão: \bigl(-\sqrt{3},-\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr),\\ (0,0),\\ \bigl(\sqrt{3},\tfrac{3\sqrt{3}}{4}\bigr).
Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-\sqrt{3}) e (0,\sqrt{3}); côncava para baixo em (-\sqrt{3},0) e (\sqrt{3},\infty).
Assíntota oblíqua: y=x (sem assíntotas verticais).
Pontos úteis: (-3,-2{,}7),(-2,-1{,}6),(-1,-0{,}5),(1,0{,}5),(2,1{,}6),(3,2{,}7).

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