Escolha duas funções abaixo e esboçe as suas curvas. Para auxiliar no esboço das curvas calcule os possíveis pontos de máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas e interseções com os eixos. Explique cada passo com riqueza de detalhes.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a curva da função e calcular/identificar, com explicações detalhadas:
- domínio da função;
- interseções com os eixos (zeros e ordenada na origem);
- pontos críticos e se há máximos ou mínimos locais;
- pontos de inflexão e intervalos de concavidade;
- assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas);
- indicação de como fazer o esboço (pontos importantes e comportamento nos extremos).
A função dada é
. Não há outras informações numéricas fornecidas. Vou usar só essa fórmula para obter tudo que é pedido.
Passo 2
Domínio: o denominador é
. Como
para todo
, o denominador nunca zera. Portanto o domínio é
Simetria: calcular
:
Logo
é uma função ímpar (simétrica em relação à origem). Isso já dá uma economia: o comportamento para
é o espelho simétrico (rotacionado 180°) do comportamento para
.
Passo 3
Interseção com o eixo
(zerar a função):
Então o único zero é
.
Interseção com o eixo
(valor em
):
Portanto a curva passa pela origem
. Como
é ímpar, não haverá outros interceptos não simétricos.
Observação qualitativa: como o zero vem de
(multiplicidade ímpar), a curva atravessa o eixo
em
(não fica “colada” ao eixo como multiplicidade par).
Passo 4
Vamos achar
passo a passo usando a regra do quociente. Para
com
e
,
a regra do quociente dá
a regra do quociente dá
Calcule as derivadas simples:
Substituindo:
Agora simplifico o numerador:
Logo
Fatorando
no numerador:
Análise do sinal de
:
- O denominador
para todo . - O fator
, e sempre.
Portantopara todo , e somente quando , ou seja em .
Interpretação:
- Em cada intervalo
e temos (estritamente positivo), então a função é estritamente crescente em e em . - Em
a derivada é zero, mas o sinal de não muda (positivo à esquerda e à direita), portanto não há máximo nem mínimo local em . É um ponto crítico sem troca de sinal — pode ser um ponto de inflexão com tangente horizontal (veremos com a segunda derivada).
Conclusão de monotonicidade:
é crescente em toda a reta (mais precisamente crescente estritamente em
e em
; no ponto
a derivada anula, mas a função não possui extremum local).
Passo 5
Vamos derivar
onde
e
. Usa-se novamente a regra do quociente:
Calcule:
Agora o numerador:
Fatorando
e simplificando (fiz as contas passo a passo):
Expandindo e simplificando o que está entre colchetes obtém-se
Portanto o numerador total é
Como
, podemos cancelar um fator
, ficando
Zerar
: resolver
dá as soluções
O denominador nunca zera, então esses são os únicos pontos onde
pode trocar de sinal — candidatos a pontos de inflexão.
Teste de concavidade por intervalos (mais fácil olhando o sinal de
):
- Denominador positivo sempre. O sinal de
é o oposto do sinal de . - Para
: e então e ⇒ concavidade para baixo. - Para
: e então e ⇒ concavidade para cima. - Para
: e então e ⇒ concavidade para baixo. - Para
: e então e ⇒ concavidade para cima.
Resumo das concavidades:
Como o sinal de
muda em
,
e
, esses três valores são pontos de inflexão. Vamos calcular as coordenadas (
):
Portanto os pontos de inflexão são
Observação: em
a tangente é horizontal (pois
) e a concavidade muda de baixo para cima, então
é um ponto de inflexão horizontal (um ponto “achatado” onde a curva muda de curvatura).
Passo 6
Graus: numerador tem grau
, denominador grau
. Grau do numerador = grau do denominador + 1 ⇒ existe assíntota oblíqua (reta) ao infinito. Para encontrá-la faço a divisão polinomial:
Dividindo
por
:
- Primeiro termo do quociente é
, porque . - Subtraindo de
resta .
Assim
Portanto, quando
, o último termo tende a
, logo a assíntota oblíqua é a reta
Mais: analisar de que lado a função se aproxima da reta:
- Para
: → e aproxima por baixo. - Para
: (pois é negativo) → e aproxima por cima.
Não existem assíntotas verticais pois
para reais. Também não há assíntota horizontal (o comportamento é oblíquo).
Passo 7
Calculemos alguns pontos simples (úteis para desenhar):
E os pontos de inflexão aproximados:
Esses pontos mostram que a curva cresce atravessando a origem, tem tangente horizontal em
, fica côncava para baixo entre
e
, muda para cima entre
e
, etc.
Comportamento nos extremos:
- Quando
, seguindo aproximadamente a reta por baixo. - Quando
, seguindo aproximadamente a reta por cima.
Passo 8
- Desenha os eixos e a reta assimptótica
(linha em 45°). - Marca a origem
(interseção com os eixos). - Marca os pontos de inflexão
, , . Use aproximações numéricas se preferir. - Marca alguns pontos de referência como
, , , , . - Entre os pontos, ligue com uma curva que respeite:
- crescente para
e para ; - concavidade conforme os intervalos do passo 5;
- tangente horizontal em
(a curva “achata” ao passar pela origem); - aproximação para a reta
quando cresce (à direita a curva fica sempre um pouco abaixo de , à esquerda um pouco acima).
- crescente para
- Lembre-se da simetria ímpar: o ramo à esquerda é o giro de 180° do ramo à direita.
Se fizer isso com cuidado o esboço ficará correto qualitativamente.
Passo 9
- Domínio:
. - Simetria: função ímpar (
), simétrica em relação à origem. - Interseções com eixos: única interseção
. - Derivada:
A função é crescente em e em . Não existem máximos ou mínimos locais. - Segunda derivada:
Pontos de inflexão em com coordenadas Concavidade alterna conforme listado no passo 5. - Assíntotas: sem assíntotas verticais; assíntota oblíqua
(pois ). - Comportamento nos extremos: segue a reta
quando (por baixo à direita, por cima à esquerda). - Pontos numéricos úteis para esboço:
, , , , , , .
Resposta
Domínio:
.
Simetria: função ímpar ( ).
Interseção com eixos: (única).
Derivada: ; função crescente para
; nenhum máximo ou mínimo local.
Pontos de inflexão: .
Concavidade: côncava para cima em e
; côncava para baixo em
e
.
Assíntota oblíqua: (sem assíntotas verticais).
Pontos úteis: .
Simetria: função ímpar (
Interseção com eixos:
Derivada:
Pontos de inflexão:
Concavidade: côncava para cima em
Assíntota oblíqua:
Pontos úteis: