Escolha n (número de subintervalos para dividir o intervalo de integração) o menor valor possível para aplicar a regra 1/3 de simpson repetida de modo a obter uma aproximação de I=\int_{0,39}^{0,39+1} e^{x^{2}} d x com um erro inferior a 0,01

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I = \int_{0,39}^{0,39+1} e^{x^2}\,\mathrm{d}x
usando a regra composta de Simpson 1/3 de modo que o erro seja menor que 0,01.
O conteúdo principal aqui é o erro da regra composta de Simpson, cujo limite é
\bigl|E\bigr|\le \frac{b-a}{180}\,h^4\;\max_{a\le x\le b}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|
onde h=(b-a)/n e n é par.

Passo 2

Calculamos a quarta derivada de f(x)=e^{x^2}.
Primeiro achamos
f'(x)=2x\,e^{x^2},\quad f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2},\quad f'''(x)=(12x+8x^3)e^{x^2}.
Derivando mais uma vez,
f^{(4)}(x) =\bigl(12+48x^2+16x^4\bigr)\,e^{x^2}.

Passo 3

Para usar o erro, precisamos de
M=\max_{0,39\le x\le1,39}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr|.
Como x^2 e 12+48x^2+16x^4 crescem em x\ge0, o máximo ocorre em x=1,39.
Calculamos aproximadamente
1,39^2\approx1,9321,\quad 1,39^4\approx3,7349,\quad 12+48(1,9321)+16(3,7349)\approx164,5,
e
e^{1,9321}\approx6,908,
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M\approx164,5\times6,908\approx1136{,}6.

Passo 4

O erro satisfaz
\bigl|E\bigr|\le \frac{1}{180}\,h^4\,M.
Queremos \bigl|E\bigr|<0,01, isto é,
h^4<\frac{0,01\cdot180}{M} \approx\frac{1{,}8}{1136{,}6}\approx0{,}001584.
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h<\bigl(0{,}001584\bigr)^{1/4}\approx0{,}2.

Passo 5

Como h=(b-a)/n=1/n, precisamos de
\frac{1}{n}<0{,}2 \quad\Longrightarrow\quad n>5.
E n deve ser par. Portanto, o menor valor possível é n=6.

Resposta

n = 6

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