Escolha uma orientação e calcule o fluxo do campo dado na superfície dada.
S onde z=x e^y,(x, y) in[0,1] times[0,1] é a superfície .

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=(xy,4x^2,yz) através da superfície S dada por z = x e^y para (x,y)in[0,1]times[0,1]. O conteúdo aqui é integral de superfície, e vamos precisar parametrizar a superfície, obter o vetor normal e calcular integral duplaSFcdot dS.

Passo 2

Vamos escolher a orientação para cima (normal com componente k positiva). Parametrizamos S por r(x,y) = (x,y,x e^y). Então os vetores tangentes são
rx = (1,0,e^y), ry = (0,1,x e^y)

Passo 3

O vetor normal orientado para cima é dado por n=rxtimesry. Calculando o produto vetorial:
rxtimesry = i & j & k 1 & 0 & e^y 0 & 1 & x e^y = (-e^y, -x e^y,1)

Passo 4

Substituímos na integral: F(r(x,y))=(xy,4x^2,y(x e^y))=(xy,4x^2,x y e^y) e fazemos o produto escalar com o normal:
F(r)cdot(rxtimesry) = xy(-e^y) + 4x^2(-x e^y) + x y e^y(1) = -4x^3 e^y,
pois os termos -xy e^y e +xy e^y se cancelam. Logo o fluxo é
integral duplaSFcdot dS = integral0^1integral0^1 (-4x^3 e^y),dx,dy

Passo 5

Agora integramos: separando,
integral0^1x^3dx=tfrac14, integral0^1e^y dy = e-1,
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integral duplaSFcdot dS = -4cdot tfrac14 cdot (e-1) = 1-e

Resposta

1 - e

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