Escolha uma orientação e calcule o fluxo do campo dado na superfície dada. onde é a superfície .
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo vetorial através da superfície dada por para . O conteúdo aqui é integral de superfície, e vamos precisar parametrizar a superfície, obter o vetor normal e calcular .
Passo 2
Vamos escolher a orientação para cima (normal com componente positiva). Parametrizamos por . Então os vetores tangentes são
Passo 3
O vetor normal orientado para cima é dado por . Calculando o produto vetorial:
Passo 4
Substituímos na integral: F(r(x,y))=(xy,4x^2,y(x e^y))=(xy,4x^2,x y e^y) e fazemos o produto escalar com o normal:
F(r)cdot(rxtimesry) = xy(-e^y) + 4x^2(-x e^y) + x y e^y(1) = -4x^3 e^y,
pois os termos -xy e^y e +xy e^y se cancelam. Logo o fluxo é integral duplaSFcdot dS = integral0^1integral0^1 (-4x^3 e^y),dx,dy
Passo 5
Agora integramos: separando,
integral0^1x^3dx=tfrac14, integral0^1e^y dy = e-1,
logo integral duplaSFcdot dS = -4cdot tfrac14 cdot (e-1) = 1-e