Calcule o limite, se existir:
lim x 9 x^2-81raizx-3

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x 9 x^2-81raizx-3. Esse exercício envolve o conceito de limites na matemática, especificamente quando nos deparamos com uma forma indeterminada como 00. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão algébrica para simplificar e eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 9 diretamente na expressão:
9^2 - 81raiz9 - 3 = 81 - 813 - 3 = 00
Essa é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador x^2 - 81. Podemos fatorar essa expressão usando a diferença de quadrados:
x^2 - 81 = (x - 9)(x + 9)
Então, a expressão original fica:
(x - 9)(x + 9)raizx - 3

Passo 4

Observamos que o denominador raizx - 3 está relacionado com raizx. Para facilitar a simplificação, vamos fazer uma substituição. Seja t = raizx, assim x = t^2. Quando x to 9, temos t to 3.
Substituindo na expressão original:
(t^2 - 9)(t^2 + 9)t - 3

Passo 5

Vamos fatorar t^2 - 9 também como uma diferença de quadrados:
t^2 - 9 = (t - 3)(t + 3)
Agora, a expressão fica:
(t - 3)(t + 3)(t^2 + 9)t - 3

Passo 6

Podemos cancelar o fator t - 3 que está no numerador e no denominador:
cancel(t - 3)(t + 3)(t^2 + 9)cancelt - 3 = (t + 3)(t^2 + 9)

Passo 7

Agora, substituímos t = 3 na expressão simplificada:
(3 + 3)(3^2 + 9) = 6 times (9 + 9) = 6 times 18 = 108

Resposta

O limite lim x 9 x^2-81raizx-3 é igual a 108.

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