S onde y^2+z^2=1 é a parte do cilindro x=0 que está entre os planos x=1 e

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬ₛ (z + x²y) dS, onde S é a parte do cilindro y² + z² = 1 entre x = 0 e x = 1. O conteúdo é integral de superfície de função escalar, e vamos precisar parametrizar o cilindro e usar a fórmula de dS via produto vetorial.

Passo 2

Uma parametrização natural de S é usar coordenadas cilíndricas para y e z e manter x como está. Definimos:
r(u,v) = (u, cos v, sin v), 0 <= u <= 1, ; 0 <= v <= 2pi

Passo 3

Para obter o elemento de área dS, calculamos o produto vetorial r_u × r_v. Como
r_u = (1,0,0) e r_v = (0,-\sin v,\cos v),
o módulo do produto é 1, então
dS = |ru times rv|,du,dv = du,dv

Passo 4

Expressamos o integrando na parametrização:
z + x^2y = sin v + u^2cos v
Assim a integral vira
integralu=0^1integralv=0^2pi (sin v + u^2cos v),dv,du

Passo 5

Agora avaliamos por partes:
  • integral0^2pi sin v,dv = 0
  • integral0^2pi cos v,dv = 0
    Logo toda a integral se anula e o resultado é 0.

Resposta

0

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