onde
é a parte do cilindro
que está entre os planos
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬ₛ (z + x²y) dS, onde S é a parte do cilindro y² + z² = 1 entre x = 0 e x = 1. O conteúdo é integral de superfície de função escalar, e vamos precisar parametrizar o cilindro e usar a fórmula de dS via produto vetorial.
Passo 2
Uma parametrização natural de S é usar coordenadas cilíndricas para y e z e manter x como está. Definimos:
Passo 3
Para obter o elemento de área dS, calculamos o produto vetorial r_u × r_v. Como
r_u = (1,0,0) e r_v = (0,-\sin v,\cos v),
o módulo do produto é 1, então
r_u = (1,0,0) e r_v = (0,-\sin v,\cos v),
o módulo do produto é 1, então
Passo 4
Expressamos o integrando na parametrização:
Assim a integral vira
Passo 5
Agora avaliamos por partes:
-
-
Logo toda a integral se anula e o resultado é 0.
Resposta
0