Escolha uma orientação e calcule o fluxo do campo dado na superfície dada.
F(x, y, z)=(-x,-y, z^3) onde S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo F(x,y,z)=(-x,-y,z^3) através da parte do cone
z=raizx^2+y^2
entre os planos z=1 e z=3. O conteúdo é integral de superfície de um campo vetorial, e vamos usar parametrização cilíndrica do cone.

Passo 2

Escolhemos a orientação cuja normal tem componente z positiva. Parametrizamos
r(r,theta) = (rcostheta,;rsintheta,;r),
com 1<= r<=3 e 0<=theta<=2pi. Calculamos os vetores tangentes
rr = (costheta,;sintheta,;1), rtheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O produto vetorial orientado é
rr times rtheta = (-rcostheta,;-rsintheta,;r)

Passo 3

O fluxo é
integral duplaS Fcdot dS =integral0^2pi!!integral1^3 F(r(r,theta))cdot(rrtimesrtheta),dr,dtheta
Aqui
F(r(r,theta)) =(-rcostheta,;-rsintheta,;r^3),
logo o integrando fica
(-rcostheta)(-rcostheta)+(-rsintheta)(-rsintheta)+r^3cdot r =r^2(cos^2theta+sin^2theta)+r^4 =r^2+r^4

Passo 4

Integramos em r e theta:
integral0^2pi!!integral1^3(r^2+r^4),dr,dtheta =2piintegral1^3(r^2+r^4),dr =2pil[tfracr^33+tfracr^55r]1^3 =2pil(tfrac273+tfrac2435-tfrac13-tfrac15r) =1712pi15

Resposta

1712pi15

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