Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:

Passo 1

O enunciado dá a PDE de primeira ordem
ux - 3,uy = sin x + cos y
com condição inicial
u(t,t)=p(t), tinR
Para resolver, usamos o método das características: encontramos curvas no plano (x,y) ao longo das quais a PDE reduz-se a uma ODE para u.

Passo 2

As equações das características são
dx1=dy-3=dusin x+cos y
Da igualdade dydx=-3 segue
dy+3,dx=0 Longrightarrow y+3x = k,
onde k é constante ao longo de cada característica.

Passo 3

Em cada característica temos y=-3x+k. Substituindo isso em
dudx=sin x+cos y, obtemos
dudx =sin x + cos(k-3x)
Integramos em x:
u(x,y) =-cos x +integralcos(k-3x),dx + C(k)
Como
integralcos(k-3x),dx =13,sin(3x-k),
temos
u(x,y) =-cos x +13,sin(3x-k) + C(k)
Voltando a k=y+3x e usando sin(3x-(y+3x))=sin(-y)=-sin y, achamos
u(x,y) =-cos x -tfrac13sin y +F(y+3x),
com F função arbitrária.

Passo 4

Impondo a condição u(t,t)=p(t), temos
p(t) =-cos t -tfrac13sin t +Fl(t+3tr) =-cos t -tfrac13sin t +F(4t)
Logo
F(4t) =p(t)+cos t+tfrac13sin t Longrightarrow F(s) =pl(tfracs4r) +cosl(tfracs4r) +tfrac13sinl(tfracs4r)

Passo 5

Substituindo s=y+3x em F, obtemos a solução explícita:
u(x,y) =-cos x -tfrac13sin y +p!l(tfracy+3x4r) +cos!l(tfracy+3x4r) +tfrac13sin!l(tfracy+3x4r)
Essa fórmula vale para todo (x,y)inR^2, pois cada ponto do plano está em exatamente uma característica que intercepta a curva inicial y=x.

Resposta

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