Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:
Passo 1
O enunciado dá a PDE de primeira ordem
com condição inicial
Para resolver, usamos o método das características: encontramos curvas no plano
ao longo das quais a PDE reduz-se a uma ODE para
.
Passo 2
As equações das características são
Da igualdade
segue
onde
é constante ao longo de cada característica.
Passo 3
Em cada característica temos
. Substituindo isso em
, obtemos
Integramos em
:
Como
temos
Voltando a
e usando
, achamos
com
função arbitrária.
Passo 4
Impondo a condição
, temos
Logo
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução explícita:
Essa fórmula vale para todo
, pois cada ponto do plano está em exatamente uma característica que intercepta a curva inicial
.