Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:
Passo 1
Estamos resolvendo uma EDP de 1ª ordem não homogênea, com condição inicial dada numa curva. O conteúdo é método das características: precisamos escrever as equações características, parametrizar a curva inicial, integrar o sistema para obter x(s), y(s), u(s), inverter para achar os parâmetros (s,t) em função de (x,y) e finalmente escrever u(x,y).
Passo 2
As equações características vêm de igualar dx/5 = dy/4 = du/(x3+1+2e{3y}). Parametrizando a curva inicial por t, temos no ponto inicial s=0: x(0)=4t, y(0)=-5t+1, u(0)=t e^t. Então escrevemos:
Passo 3
Integramos as duas primeiras ODEs com condição em s=0:
x(s)=5s+4t, y(s)=4s-5t+1
Passo 4
Para inverter e achar s e t em função de (x,y) resolvemos:
5s+4t=x,
4s-5t+1=y
Dessa forma obtemos facilmente
t=4x-5y+541,
s=5x+4y-441
Passo 5
Agora integramos du/ds de 0 até s:
u(s)-u(0)=integral0^sl[x(r)^3+1+2e^3y(r)r]dr
Passo 6
Para o polinômio usamos x®=5r+4t e fazemos a expansão e integral termo a termo: