Resolva, indicando a região do plano onde a solução é válida:

Passo 1

Estamos resolvendo uma EDP de 1ª ordem não homogênea, com condição inicial dada numa curva. O conteúdo é método das características: precisamos escrever as equações características, parametrizar a curva inicial, integrar o sistema para obter x(s), y(s), u(s), inverter para achar os parâmetros (s,t) em função de (x,y) e finalmente escrever u(x,y).

Passo 2

As equações características vêm de igualar dx/5 = dy/4 = du/(x3+1+2e{3y}). Parametrizando a curva inicial por t, temos no ponto inicial s=0: x(0)=4t, y(0)=-5t+1, u(0)=t e^t. Então escrevemos:
dxds=5, dyds=4, duds=x^3+1+2e^3y,

Passo 3

Integramos as duas primeiras ODEs com condição em s=0:
x(s)=5s+4t, y(s)=4s-5t+1

Passo 4

Para inverter e achar s e t em função de (x,y) resolvemos:
5s+4t=x,
4s-5t+1=y
Dessa forma obtemos facilmente
t=4x-5y+541,
s=5x+4y-441

Passo 5

Agora integramos du/ds de 0 até s:
u(s)-u(0)=integral0^sl[x(r)^3+1+2e^3y(r)r]dr

Passo 6

Para o polinômio usamos x®=5r+4t e fazemos a expansão e integral termo a termo:
integral0^s(5r+4t)^3dr=1254s^4+100,t,s^3+120,t^2,s^2+64,t^3,s
Para a parte exponencial usamos y®=4r-5t+1, logo
integral0^s2e^3y(r)dr=16e^3-15tl(e^12s-1r)

Passo 7

Juntando tudo:
u(x,y)=t e^t+1254s^4+100ts^3+120t^2s^2+64t^3s+s+16l(e^3y-e^3-15tr)
com t e s dados acima. A inversão é global (determinante 41≠0), portanto a solução é válida em todo o plano.

Resposta

Definindo
t=4x-5y+541, s=5x+4y-441,
a solução é
u(x,y)=t e^t+1254s^4+100ts^3+120t^2s^2+64t^3s+s+16l(e^3y-e^3-15tr),
válida para todo (x,y)inR^2.

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