Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabilidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o circulo, ser inferior a 1 / 2 ?

Passo 1

O ponto é escolhido de forma uniforme no disco de raio 1 centrado na origem. Para distribuição uniforme em áreas, a probabilidade de cair numa região é a razão entre a área dessa região e a área total do disco. A distância do ponto à circunferência é
d = 1 - r
onde r é a distância do ponto à origem. Queremos
d < 12
ou seja
r > 12

Passo 2

A região r>tfrac12 é um anel circular de raio interno tfrac12 e externo 1. Sua área é
pil(1^2 - l(tfrac12r)^2r) = pil(1 - tfrac14r) = tfrac34pi
Como a área total do disco é pi, a probabilidade desejada é
P = tfrac34pipi = 34

Resposta

34

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