Um número é escolhido ao acaso no intervalo

Passo 1

O enunciado diz que escolhemos um número uniformemente em [0,1) e quer a probabilidade de que, na expansão decimal dele, apareça pelo menos um algarismo 1. O conteúdo aqui é probabilidade em sequências infinitas de dígitos e vamos usar o método do complementar (evento “não aparece 1”) e limites de produtos.

Passo 2

Definimos o evento Ak = “nos primeiros k dígitos decimais não há nenhum 1”. Cada dígito, por simetria e independência, tem probabilidade
Pr(dígitoneq1)=910 í
Como os k dígitos são independentes,
Pr(Ak)=l(910r)^k

Passo 3

O evento “não aparece nenhum 1 nunca” é
A=capk=1^inftyAk
Como Ak+1subset Ak, aplica-se continuidade de probabilidade para cima e
Pr(A)=limktoinftyPr(Ak) =limktoinftyl(910r)^k =0

Passo 4

Finalmente, a probabilidade de aparecer pelo menos um 1 é o complementar de A:
1-Pr(A)=1-0=1

Resposta

A probabilidade é 1.

Exercícios relacionados