Um número é escolhido ao acaso no intervalo

Passo 1

O enunciado diz que um número x é escolhido uniformemente em [0,1) e queremos a probabilidade de que o primeiro algarismo decimal de x, digamos d1 em
x = 0d1d2d3ldots,
seja ímpar. O conteúdo aqui é distribuição uniforme contínua em [0,1) e medida de conjuntos; vamos usar a correspondência entre cada valor de d1 e um subintervalo de comprimento tfrac110.

Passo 2

Cada valor de d1in0,1,2,dots,9 corresponde ao subintervalo
gl[d110,,d1+110gr)
em que x deve cair. Assim, o evento “ d1 é ímpar” equivale à união dos intervalos para d1=1,3,5,7,9.

Passo 3

Escrevendo o evento
A = ,d1 é ímpar = cupkin1,3,5,7,9gl[k10,,k+110gr) éí
Em distribuição uniforme, a probabilidade de x cair em cada l[k10,k+110r) vale o comprimento 110.

Passo 4

Como há 5 valores ímpares em 0,dots,9, a probabilidade pedida é
P(A) = 5 times 110 = 510 = 12

Resposta

12

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