Escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
e^{\tau} y{\prime}+e{-t} y=t

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado. Eu escolhi quatro equações simples e representativas (todas são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem). As equações que vou resolver são:
  1. \;y' = y\sin t.\n
  2. \;y' + 2y = e^{-t}.\n
  3. \;t\,y' - 2y = t^{3}, com t\neq 0.\n
  4. \;(2xy+\cos y)\,dx + (x^{2}-x\sin y)\,dy = 0.\n
Em cada caso a pergunta é: determinar a solução geral y(\cdot) (ou a solução implícita quando for mais natural), e eu citarei o método usado (separação de variáveis, fator integrante para equação linear, redução para forma linear, ou equação exata).

Passo 2

Equação 1: \;y' = y\sin t.\n
O método aplicado: separação de variáveis (quando é possível escrever todos os termos com y num lado e todos os termos com t no outro).
Explicação da ideia: uma equação do tipo \;y' = f(t)g(y) pode ser reescrita como \;\dfrac{dy}{g(y)} = f(t)\,dt. Integramos ambos os lados e isolamos y.
Aplicação passo a passo:
\text{Começamos escrevendo } y'=\frac{dy}{dt}=y\sin t.ç
Separamos as variáveis:
\frac{dy}{y}=\sin t\,dt.
Integramos ambos os lados. Lembre-se: \int \frac{1}{y}dy=\ln|y| e \int \sin t\,dt=-\cos t. Logo,
\int \frac{dy}{y}=\int \sin t\,dt\quad\Rightarrow\quad \ln|y|=-\cos t + C,
onde C é constante de integração.
Isolamos y: aplicando exponencial em ambos os lados,
|y| = e^{- \cos t + C} = e^{C} e^{-\cos t}.
Definimos C_1=\pm e^{C} (constante arbitrária não nula) e obtemos a solução geral
y(t) = C_{1} e^{-\cos t},
onde C_{1} é uma constante real (pode ser zero; C_{1}=0 dá a solução trivial y\equiv 0).

Passo 3

Equação 2: \;y' + 2y = e^{-t}.\n
O método aplicado: equação linear de primeira ordem com fator integrante.
Aula rápida sobre o método: uma equação linear de primeira ordem tem a forma \;y' + P(t)y = Q(t). O fator integrante é \mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}. Multiplicando a equação por \mu transformamos o lado esquerdo em uma derivada exata: (\mu y)'. Depois integramos e isolamos y.
Aplicação passo a passo:
Identificamos P(t)=2 e Q(t)=e^{-t}. Calculamos o fator integrante:
\mu(t)=e^{\int 2\,dt}=e^{2t}.
Multiplicamos a equação por \mu:
e^{2t}y' + 2e^{2t}y = e^{2t}e^{-t}=e^{t}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2t}y:
\frac{d}{dt}\big(e^{2t}y\big)=e^{t}.
Integramos:
e^{2t}y = \int e^{t}\,dt = e^{t} + C.
Isolamos y:
y(t)=e^{-t} + C e^{-2t},
onde C é constante de integração.

Passo 4

Equação 3: \;t\,y' - 2y = t^{3}, com t\neq 0.\n
O método aplicado: reduzir para equação linear na forma padrão dividindo por t e usar fator integrante.
Explicação: primeiro colocamos na forma y' + P(t)y = Q(t) dividindo por t. Depois aplicamos o mesmo procedimento do fator integrante.
Aplicação passo a passo:
Dividindo por t (válido porque t\neq 0):
y' - \frac{2}{t}y = t^{2}.
Aqui P(t)=-\dfrac{2}{t} e Q(t)=t^{2}. O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int P(t)\,dt}=e^{\int -\frac{2}{t}\,dt}=e^{-2\ln|t|}=|t|^{-2}.
Para evitar complicação com valores absolutos (e porque normalmente se trabalha em intervalos onde t não muda de sinal), podemos tomar \mu(t)=t^{-2} (assumindo t>0 ou trabalhando com a expressão simbólica). Multiplicamos pela \mu:
t^{-2}y' - 2t^{-3}y = 1.
O lado esquerdo é a derivada de t^{-2}y, isto é,
\frac{d}{dt}\big(t^{-2}y\big)=1.
Integramos:
t^{-2}y = \int 1\,dt = t + C.
Isolamos y:
y(t) = t^{2}(t + C) = t^{3} + C t^{2},
onde C é constante de integração.

Passo 5

Equação 4: \;(2xy+\cos y)\,dx + (x^{2}-x\sin y)\,dy = 0.\n
O método aplicado: equação diferencial total exata. Primeiro verificamos se é exata; se for, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi = 0 e \Phi(x,y)= constante dá a solução implícita.
Aula rápida sobre exatidão: escrevemos a equação como M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0. É exata se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x num domínio considerado. Então existe \Phi com \Phi_x=M e \Phi_y=N. Integramos \Phi_x=M em x e ajustamos com função de y determinada por comparar com \Phi_y=N.
Aplicação passo a passo:
Identificamos
M(x,y)=2xy+\cos y,\qquad N(x,y)=x^{2}-x\sin y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=2x - \sin y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x - \sin y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.
Logo existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. Integramos \Phi_x=M em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (2xy+\cos y)\,dx = x^{2}y + x\cos y + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (como a integração foi em x).
Agora derivamos \Phi em relação a y:
\Phi_y = x^{2} - x\sin y + h'(y).
Comparando com N(x,y)=x^{2}-x\sin y obtemos
x^{2} - x\sin y + h'(y) = x^{2} - x\sin y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Portanto h(y) é constante, que absorvemos na constante da solução. A função potencial é então
\Phi(x,y)=x^{2}y + x\cos y + \text{const}.
A solução implícita (integral de primeira ordem) é
x^{2}y + x\cos y = C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Recapitulando as constantes de integração: em todas as equações lineares e separáveis apareceu uma constante arbitrária C (ou C_1), que representa a família completa de soluções gerais. Nas equações implícitas também temos uma constante C.
Força aí — você já tem quatro métodos clássicos e as soluções. Se quiser, escolho outras quatro equações ou resolvo condições iniciais específicas para essas soluções.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{-\cos t}\n
y(t)=e^{-t}+C e^{-2t}\n
y(t)=t^{3}+C t^{2}\n
x^{2}y + x\cos y = C

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