Escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
e^{\tau} y{\prime}+e{-t} y=t
e^{\tau} y{\prime}+e{-t} y=t
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha quatro equações e, em cada caso, resolva-as citando o método aplicado. Eu escolhi quatro equações simples e representativas (todas são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem). As equações que vou resolver são:
-
.\n -
.\n -
, com .\n -
.\n
Em cada caso a pergunta é: determinar a solução geral
(ou a solução implícita quando for mais natural), e eu citarei o método usado (separação de variáveis, fator integrante para equação linear, redução para forma linear, ou equação exata).
Passo 2
Equação 1:
.\n
O método aplicado: separação de variáveis (quando é possível escrever todos os termos com num lado e todos os termos com
no outro).
O método aplicado: separação de variáveis (quando é possível escrever todos os termos com
Explicação da ideia: uma equação do tipo
pode ser reescrita como
. Integramos ambos os lados e isolamos
.
Aplicação passo a passo:
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados. Lembre-se:
e
. Logo,
onde
é constante de integração.
Isolamos
: aplicando exponencial em ambos os lados,
Definimos
(constante arbitrária não nula) e obtemos a solução geral
onde
é uma constante real (pode ser zero;
dá a solução trivial
).
Passo 3
Equação 2:
.\n
O método aplicado: equação linear de primeira ordem com fator integrante.
O método aplicado: equação linear de primeira ordem com fator integrante.
Aula rápida sobre o método: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
. O fator integrante é
. Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em uma derivada exata:
. Depois integramos e isolamos
.
Aplicação passo a passo:
Identificamos e
. Calculamos o fator integrante:
Identificamos
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integramos:
Isolamos
:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Equação 3:
, com
.\n
O método aplicado: reduzir para equação linear na forma padrão dividindo por e usar fator integrante.
O método aplicado: reduzir para equação linear na forma padrão dividindo por
Explicação: primeiro colocamos na forma
dividindo por
. Depois aplicamos o mesmo procedimento do fator integrante.
Aplicação passo a passo:
Dividindo por (válido porque
):
Dividindo por
Aqui
e
. O fator integrante é
Para evitar complicação com valores absolutos (e porque normalmente se trabalha em intervalos onde
não muda de sinal), podemos tomar
(assumindo
ou trabalhando com a expressão simbólica). Multiplicamos pela
:
O lado esquerdo é a derivada de
, isto é,
Integramos:
Isolamos
:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Equação 4:
.\n
O método aplicado: equação diferencial total exata. Primeiro verificamos se é exata; se for, existe uma função potencial tal que
e
constante dá a solução implícita.
O método aplicado: equação diferencial total exata. Primeiro verificamos se é exata; se for, existe uma função potencial
Aula rápida sobre exatidão: escrevemos a equação como
. É exata se
num domínio considerado. Então existe
com
e
. Integramos
em
e ajustamos com função de
determinada por comparar com
.
Aplicação passo a passo:
Identificamos
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Logo existe
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(como a integração foi em
).
Agora derivamos
em relação a
:
Comparando com
obtemos
Portanto
é constante, que absorvemos na constante da solução. A função potencial é então
A solução implícita (integral de primeira ordem) é
onde
é constante de integração.
Passo 6
Recapitulando as constantes de integração: em todas as equações lineares e separáveis apareceu uma constante arbitrária
(ou
), que representa a família completa de soluções gerais. Nas equações implícitas também temos uma constante
.
Força aí — você já tem quatro métodos clássicos e as soluções. Se quiser, escolho outras quatro equações ou resolvo condições iniciais específicas para essas soluções.