Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{\sqrt{2 / 3}}
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{\sqrt{2 / 3}}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial abaixo (não resolver):
Informações dadas que vamos usar:
- A equação é de primeira ordem (aparece apenas
). - O lado direito é uma função racional linear em
e dividida por uma constante . - Não há mais condições iniciais ou domínio fornecido — só precisamos classificar o tipo da equação.
Passo 2
Definição e teste de “separável”.
- Uma equação é separável se puder ser escrita como
, isto é, produto de uma função só de por uma função só de . - Aqui temos
- Isso é soma de termos dependentes separadamente de
e de , não um produto . Não existe fatoração óbvia que transforme num produto de uma função só de por uma só de .
Conclusão: a equação não é separável.
Passo 3
Definição e teste de “linear” (primeira ordem).
- Forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em
:
onde
e
dependem apenas de
.
- Reescrevendo nossa equação, chamando
,
- Aqui
(constante) e , que dependem apenas de .
Conclusão: a equação é linear de primeira ordem (equação linear não-homogênea com coeficiente constante).
Passo 4
Definição e teste de “exata”.
- Uma equação na forma diferencial
é exata se . - Passe para forma diferencial: multiplicando por
para eliminar fração,
Assim
e
.
- Calcule as derivadas parciais:
- Como
, a condição de exatidão não é satisfeita.
Conclusão: a equação não é exata (embora possa admitir um fator integrante dependendo de).
Passo 5
Definição e teste de “homogênea” (no sentido usual para ODEs de primeira ordem).
- Uma equação
é dita homogênea (no sentido de substituição ) quando para todo , isto é, é homogênea de grau e pode ser escrita como função de . - Aqui
. Verificamos
ou seja,
é homogênea de grau
, não de grau
. Não pode ser escrita apenas em função de
.
Conclusão: a equação não é homogênea no sentido padrão usado para resolução por .
Conclusão: a equação não é homogênea no sentido padrão usado para resolução por
Passo 6
Definição e teste de “Bernoulli”.
- A equação de Bernoulli tem forma
com
real. Para
é uma classe distinta; para
ou
ela recai em casos já conhecidos (linear ou trivial).
- Já colocamos a equação na forma linear:
Isso corresponde a
multiplicando
com
(pois
).
- Assim, a equação é um caso degenerado da Bernoulli com
, que na prática é simplesmente a equação linear acima.
Conclusão: pode ser vista como Bernoulli com(caso trivial), mas não é um exemplo nãotrivial de Bernoulli (os quais interessam quando ).
Resposta
Linear
Não separável
Não exata
Não homogênea
Bernoulli (caso trivial , que reduz à equação linear)
Não separável
Não exata
Não homogênea
Bernoulli (caso trivial