Classifique cada uma das equações diferenciais como separável, exata, linear, homogênea ou de Bernoulli. Algumas equações podem ser mais de um tipo. Não as resolva.
\frac{d y}{d x}=\frac{x-y}{\sqrt{2 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial abaixo (não resolver):
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{\sqrt{2/3}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação é de primeira ordem (aparece apenas \frac{dy}{dx}).
  • O lado direito é uma função racional linear em x e y dividida por uma constante \sqrt{2/3}.
  • Não há mais condições iniciais ou domínio fornecido — só precisamos classificar o tipo da equação.

Passo 2

Definição e teste de “separável”.
  • Uma equação é separável se puder ser escrita como \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\,g(y), isto é, produto de uma função só de x por uma função só de y.
  • Aqui temos
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{\sqrt{2/3}}=\frac{1}{\sqrt{2/3}}\,x-\frac{1}{\sqrt{2/3}}\,y.
  • Isso é soma de termos dependentes separadamente de x e de y, não um produto f(x)g(y). Não existe fatoração óbvia que transforme \frac{x-y}{\sqrt{2/3}} num produto de uma função só de x por uma só de y.
    Conclusão: a equação não é separável.

Passo 3

Definição e teste de “linear” (primeira ordem).
  • Forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em y:
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P e Q dependem apenas de x.
  • Reescrevendo nossa equação, chamando c=\sqrt{2/3},
\frac{dy}{dx}=\frac{x-y}{c}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}+\frac{1}{c}\,y=\frac{1}{c}\,x.
  • Aqui P(x)=\dfrac{1}{c} (constante) e Q(x)=\dfrac{1}{c}\,x, que dependem apenas de x.
    Conclusão: a equação é linear de primeira ordem (equação linear não-homogênea com coeficiente constante).

Passo 4

Definição e teste de “exata”.
  • Uma equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x.
  • Passe para forma diferencial: multiplicando por c para eliminar fração,
c\,dy-(x-y)\,dx=0.
Assim M(x,y)=-(x-y)=-x+y e N(x,y)=c.
  • Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
  • Como 1\neq 0, a condição de exatidão não é satisfeita.
    Conclusão: a equação não é exata (embora possa admitir um fator integrante dependendo de x).

Passo 5

Definição e teste de “homogênea” (no sentido usual para ODEs de primeira ordem).
  • Uma equação \displaystyle \frac{dy}{dx}=F(x,y) é dita homogênea (no sentido de substituição y=vx) quando F(tx,ty)=F(x,y) para todo t, isto é, F é homogênea de grau 0 e pode ser escrita como função de \dfrac{y}{x}.
  • Aqui F(x,y)=\dfrac{x-y}{c}. Verificamos
F(tx,ty)=\frac{tx-ty}{c}=t\frac{x-y}{c}=t\,F(x,y),
ou seja, F é homogênea de grau 1, não de grau 0. Não pode ser escrita apenas em função de y/x.
Conclusão: a equação não é homogênea no sentido padrão usado para resolução por y=vx.

Passo 6

Definição e teste de “Bernoulli”.
  • A equação de Bernoulli tem forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com n real. Para n\neq 0,1 é uma classe distinta; para n=0 ou n=1 ela recai em casos já conhecidos (linear ou trivial).
  • Já colocamos a equação na forma linear:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{c}y=\frac{1}{c}x.
Isso corresponde a Q(x)=\dfrac{1}{c}x multiplicando y^{n} com n=0 (pois y^{0}=1).
  • Assim, a equação é um caso degenerado da Bernoulli com n=0, que na prática é simplesmente a equação linear acima.
    Conclusão: pode ser vista como Bernoulli com n=0 (caso trivial), mas não é um exemplo nãotrivial de Bernoulli (os quais interessam quando n\neq 0,1).

Resposta

Linear
Não separável
Não exata
Não homogênea
Bernoulli (caso trivial n=0, que reduz à equação linear)

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