Escolha entre as questões 1,2 e 3, UMA para resolver
  1. (2,5 pontos) Dado um número real r, considere a matriz Ar=[cccos (r) & -sen(r) sen(r) & cos (r)].
    (a) Calcule Api2.
    (b) Dados r e s em R, mostre que Ar cdot As=Ar+s.

Passo 1

O enunciado define para cada rinR a matriz de rotação
Ar = cos(r) & -sen(r) sen(r) & cos(r)
e pede:
(a) calcular Api2,
(b) mostrar que para quaisquer r,sinR vale Ar,As=Ar+s.
Vamos usar conhecimentos básicos de trigonometria e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Para (a), basta substituir r=tfracpi2 em cada entrada de Ar. Sabemos que
cosl(tfracpi2r)=0, senl(tfracpi2r)=1
Logo,
Api2 = cosl(tfracpi2r) & -senl(tfracpi2r) senl(tfracpi2r) & cosl(tfracpi2r) = 0 & -1 1 & 0

Passo 3

Para (b), calculamos o produto ArAs. Escrevendo
Ar = cos r & -sen r sen r & cos r , As = cos s & -sen s sen s & cos s ,
temos
ArAs = cos r,cos s - sen r,sen s & -cos r,sen s - sen r,cos s sen r,cos s + cos r,sen s & -sen r,sen s + cos r,cos s

Passo 4

Agora usamos as identidades de soma de ângulos:
cos(r+s)=cos r,cos s - sen r,sen s, sen(r+s)=sen r,cos s + cos r,sen s
Isso faz com que
ArAs = cos(r+s) & -sen(r+s) sen(r+s) & cos(r+s) = Ar+s

Resposta

(a)
Api2 = 0 & -1 1 & 0
(b) Mostramos que
ArAs = Ar+s

Exercícios relacionados