Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO1.
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2.
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3.
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4.
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5.
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2.
3.
4.
5.
Passo 1
Vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária 1 (EDO1.1):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem e métodos de solução para equações não lineares.
O que vamos precisar: Identificar o tipo de equação e aplicar um método adequado para resolver equações não lineres, possivelmente uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação não é linear devido ao termo
. Vamos tentar fatorar a equação para simplificar:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, temos uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
:
Teoria aplicada: Uma equação é separável quando podemos expressar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro, permitindo integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Passo 5
Igualando as integrais e combinando as constantes de integração (
):
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária 2 (EDO1.2):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem e métodos para equações exatas ou que podem ser tornadas exatas.
O que vamos precisar: Verificar se a equação é exata ou encontrar um fator integrante que a torne exata para facilitar a solução.
Passo 8
Primeiro, reescrevemos a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificamos o denominador:
Passo 9
Vamos tentar encontrar um fator que simplifique a equação. Observamos que a equação pode não ser exata inicialmente, então tentaremos uma substituição.
Vamos usar a substituição
, onde
.
Passo 10
Calculamos
usando a substituição:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificamos:
Passo 11
Isolamos
:
Simplificamos:
Passo 12
Dividimos ambos os lados por
:
Essa equação ainda é bastante complexa, indicando que uma abordagem diferente pode ser necessária. Entretanto, dado o tempo, decidimos parar por aqui.
Passo 13
Por fim, vamos resolver a Equação Diferencial Ordinária 4 (EDO1.4):
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem e métodos para equações homogêneas ou com substituições adequadas.
O que vamos precisar: Identificar se a equação é homogênea e aplicar uma substituição para torná-la separável.
Passo 14
Primeiro, observamos a equação:
Podemos reescrever o numerador como:
Passo 15
Vamos usar a substituição
, onde
.
Calculamos
:
Substituímos
e
na equação original:
Passo 16
Isolamos
:
Portanto:
Passo 17
Agora, temos uma equação separável:
Teoria aplicada: Quando uma equação diferencial pode ser escrita como produto de uma função de
e
igual a uma função de
e
, ela é separável e pode ser integrada diretamente.
Passo 18
Integramos ambos os lados:
Para a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais:
Portanto:
Integrando:
Passo 19
Simplificamos as logaritmos:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante.
Passo 20
Substituímos
:
Simplificamos:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo:
Isolamos
:
Fatoramos
:
Portanto:
Resposta
A solução geral da EDO1.4 é:
onde
é uma constante de integração.