Escolha e resolva, no máximo 3 dentre as EDO’s abaixo:
3 x y+y^{2}+\left(x y+x^{2}\right) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
3xy + y^2 + (xy + x^2)\,y' = 0
e pede a solução geral. Aqui o conteúdo é “equações diferenciais exatas” e “fator integrante”.

Passo 2

Escrevemos no formato
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0,
onde
M(x,y) = 3xy + y^2, \quad N(x,y) = xy + x^2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 3x + 2y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = y + 2x,
logo não é exata, pois 3x+2y \neq y+2x. Vamos buscar um fator integrante \mu que dependa só de x.

Passo 3

Testamos a condição
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(3x+2y)-(y+2x)}{x(y+x)} = \frac{x+y}{x(y+x)} = \frac1x,
que depende apenas de x. Logo
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \tfrac1x\,dx\Bigr) = x.
Multiplicamos a EDO original por x, obtendo
M^*(x,y) + N^*(x,y)\,y' = 0
com
M^* = x(3xy + y^2) = 3x^2y + xy^2, \quad N^* = x(xy + x^2) = x^2y + x^3,
e agora verifica-se \partial M^*/\partial y = \partial N^*/\partial x = 3x^2 + 2xy.

Passo 4

Como é exata, existe \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M^* \quad\text{e}\quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N^*.
Integrando \partial \Psi/\partial x = 3x^2y + xy^2 em relação a x,
\Psi(x,y) = \int (3x^2y + x y^2)\,dx = yx^3 + \tfrac12 x^2y^2 + H(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^3 + x^2y + H'(y) \stackrel!= x^2y + x^3 \;\Longrightarrow\; H'(y)=0.
Logo H é constante.

Passo 5

A solução implícita é
\Psi(x,y) = x^3y + \tfrac12\,x^2y^2 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^3y + \frac{x^2y^2}{2} = C.

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