Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int\left(3 x^{2}+2 x\right) e^{x^{3}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3x^{2}+2x\bigr)e^{x^{3}+x^{2}}\,dx
usando a Regra da Substituição. O conteúdo é integração por substituição, onde reconhecemos uma parte da derivada do expoente multiplicando a função exponencial.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{3}+x^{2}.
Então, ao derivar ambos os lados em relação a x, obtemos
du = \bigl(3x^{2}+2x\bigr)\,dx.

Passo 3

Com essa escolha, a integral original se transforma em
\int\bigl(3x^{2}+2x\bigr)e^{x^{3}+x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é simplesmente e^{u}. Logo,
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original substituindo u = x^{3}+x^{2}, obtendo
e^{u} + C = e^{\,x^{3}+x^{2}} + C.

Resposta

\int\bigl(3x^{2}+2x\bigr)e^{x^{3}+x^{2}}\,dx = e^{\,x^{3}+x^{2}} + C.

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