Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial conforme seja o caso:
y^{\prime \prime} y^{\prime}-x=0, y(1)=2, y^{\prime}(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''(x)\,y'(x)-x=0
com condições iniciais y(1)=2 e y'(1)=1.
Perceba que é uma equação de segunda ordem não linear, mas que admite redução de ordem definindo
p(x)=y'(x).

Passo 2

Substituindo p=y' na equação, temos y''=dp/dx, logo
p\,\frac{dp}{dx}-x=0
que podemos reescrever como
p\,\frac{dp}{dx}=x.
Isso é uma equação de primeira ordem em p.

Passo 3

Separamos e integramos em relação a x:
p\,dp = x\,dx.
Integrando ambos os lados,
\int p\,dp = \int x\,dx
\frac{1}{2}p^2 = \frac{1}{2}x^2 + C.
Multiplicando por 2, obtemos
p^2 = x^2 + C_1.

Passo 4

Usamos a condição y'(1)=1, isto é, p(1)=1:
1^2 = 1^2 + C_1 \quad\Longrightarrow\quad C_1=0.
Então p^2=x^2, ou seja,
y' = p = \pm x.
Como y'(1)=1>0, escolhemos
y' = x.

Passo 5

Integramos agora y'=x:
y(x)=\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C_2.
Para y(1)=2 temos
2 = \frac{1^2}{2} + C_2 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \frac{3}{2}.

Resposta

y(x)=\frac{x^2}{2} + \frac{3}{2}.

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