Escolha e resolva UMA das questões a seguir.
Verifique a posição relativa das retas r: P=(-1,2,0)+t(2,3,3) e s: \frac{x-1}{\frac{2}{3}}=y-2=z e calcule a distancia entre as retas r e s. Apresentar, em todas as questões, sua respectiva solução e justificativa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre as retas
r: P=(-1,2,0)+t\,(2,3,3)
e
\frac{x-1}{\tfrac23}=y-2=z
e, em seguida, calcular a distância entre elas. O conteúdo principal é geometria analítica no espaço: vetor diretor, paralelismo de retas e fórmula da distância entre retas paralelas.

Passo 2

Escrevendo a reta s em forma paramétrica, seja \lambda = y-2 = z. Então
y=2+\lambda,\quad z=\lambda,\quad x-1=\tfrac23\,\lambda\implies x=1+\tfrac23\lambda.
Logo, um ponto de s é Q=(1,2,0) e o vetor diretor é
v=\Bigl(\tfrac23,1,1\Bigr).
Na reta r, um ponto é P=(-1,2,0) e o vetor diretor é
u=(2,3,3).

Passo 3

Verificamos o paralelismo comparando u e v. Note que
3\,v=3\Bigl(\tfrac23,1,1\Bigr)=(2,3,3)=u,
logo u e v são colineares e as retas são paralelas. Para ver que não coincidem, bastaria checar que não existe t tal que
P+t\,u=Q,
pois isso exigiria -1+2t=1 e simultaneamente 2+3t=2, o que é impossível.

Passo 4

A distância entre retas paralelas é dada por
d=\frac{\bigl\|(Q-P)\times u\bigr\|}{\|u\|}.
Aqui
Q-P=(1-(-1),\,2-2,\,0-0)=(2,0,0),
(Q-P)\times u=(2,0,0)\times(2,3,3)=(0,-6,6),
\|(Q-P)\times u\|=\sqrt{0^2+(-6)^2+6^2}=6\sqrt2,
\|u\|=\sqrt{2^2+3^2+3^2}=\sqrt{22}.
Portanto
d=\frac{6\sqrt2}{\sqrt{22}}=\frac{6}{\sqrt{11}}.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas, e a distância entre elas é
d=\frac{6}{\sqrt{11}}.

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