Resolva as questōes:
Determinar o valor de m de modo que os planos \pi_{1}: 2 m x+y-z=0 e \pi_{2}: 2 x-m y+ 3 z-1=0 sejam perpendiculares. Apresentar, em todas as questões, sua respectiva solução e justificativa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de m de modo que os planos \pi_{1}:2m x + y - z = 0 e \pi_{2}:2x - m y + 3z - 1 = 0 sejam perpendiculares.
Conteúdo: geometria analítica de planos no espaço e condição de perpendicularidade via produto escalar dos vetores normais.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano:
o normal de \pi_{1} é
n_{1} = (2m,\;1,\;-1),
e o normal de \pi_{2} é
n_{2} = (2,\;-m,\;3).

Passo 3

Para que dois planos sejam perpendiculares, seus normais devem ser ortogonais, isto é,
n_{1}\cdot n_{2} = 0.
Calculando o produto escalar, temos
2m\cdot 2 \;+\;1\cdot(-m)\;+\;(-1)\cdot 3 \;=\;0.

Passo 4

Simplificando a equação obtida:
4m - m - 3 = 0
3m = 3
m = 1.

Resposta

m = 1

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