Escolha e resolva UMA das questões a seguir.
Calcule a distância do ponto \mathrm{P}(1,3,5)\ ao plano \pi: P=(1,0,0)+t(1,0,0)+h(-1,0,3). Apresentar, em todas as questões, sua respectiva solução e justificativa.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto \mathrm{P}(1,3,5) a um plano \pi dado em forma paramétrica
\pi:\; \vec r = (1,0,0) + t\,(1,0,0) + h\,(-1,0,3).
O conteúdo envolvido é: encontrar o vetor normal ao plano via produto vetorial e depois usar a fórmula da distância de ponto a plano.

Passo 2

Identificamos dois vetores diretores do plano, extraídos dos parâmetros t e h:
\vec v = (1,0,0), \quad \vec w = (-1,0,3).

Passo 3

Calculamos o vetor normal \vec n ao plano como
\vec n = \vec v \times \vec w = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (0\cdot3 - 0\cdot0)\,\mathbf{i} - (1\cdot3 - 0\cdot(-1))\,\mathbf{j} + (1\cdot0 - 0\cdot(-1))\,\mathbf{k} = (0,-3,0).
Podemos usar \vec n = (0,-3,0) ou, equivalently, o normal unitário (0,-1,0).

Passo 4

A equação do plano em forma normal é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-(1,0,0)\bigr)=0.
Substituindo \vec n=(0,-3,0) e \vec r_0=(1,0,0)
(0,-3,0)\cdot(x-1,y,z)= -3\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=0.

Passo 5

A distância de um ponto \mathrm{P}(x_1,y_1,z_1) a um plano Ax+By+Cz+D=0 é
d = \frac{\bigl|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Aqui o plano y=0 equivale a 0\cdot x + 1\cdot y +0\cdot z + 0=0. Para \mathrm{P}(1,3,5) temos
d = \frac{\bigl|0\cdot1 + 1\cdot3 + 0\cdot5 + 0\bigr|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}} = \frac{|3|}{1} =3.

Resposta

A distância do ponto \mathrm{P}(1,3,5) ao plano \pi é 3.

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