Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \log n \cdot \log (\log n)}.

Passo 1

Temos a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\log n\,\log(\log n)}.
O objetivo é aplicar o teste da integral. Para isso, definimos a função
f(x)=\frac{1}{x\,\log x\,\log(\log x)},
e vamos verificar se ela satisfaz as condições (positividade e decrescimento) para usar o teste da integral em uma cauda da série, lembrando que retirar um número finito de termos não altera a convergência.

Passo 2

Para x\ge3 temos \log x\ge\log3>1, logo \log(\log x)>0. Assim, em [3,\infty),
f(x)>0.
Para ver que f é decrescente em [3,\infty), note que
\ln f(x)=-\ln x-\ln(\log x)-\ln(\log(\log x))
e, ao derivar, obtemos
\frac{f'(x)}{f(x)} =-\frac{1}{x}-\frac{1}{x\,\log x}-\frac{1}{x\,\log x\,\log(\log x)}<0 \quad\text{para }x\ge3.
Logo f'(x)<0 e f é decrescente em [3,\infty). Portanto, podemos aplicar o teste da integral à série a partir de n=3.

Passo 3

Escrevemos a integral imprópria correspondente:
\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x\,\log x\,\log(\log x)}.

Passo 4

Fazemos a primeira substituição
t=\log x,\quad dt=\frac{dx}{x},
de modo que, quando x=3, t=\log3, e quando x\to\infty, t\to\infty. A integral vira
\int_{\log3}^{\infty}\frac{dt}{t\,\log t}.

Passo 5

Fazemos a segunda substituição
u=\log t,\quad du=\frac{dt}{t},
de modo que, quando t=\log3, u=\log(\log3), e quando t\to\infty, u\to\infty. A integral torna-se
\int_{\log(\log3)}^{\infty}\frac{du}{u}.
Essa integral é \bigl[\ln u\bigr]_{\log(\log3)}^{\infty}=\lim_{U\to\infty}\ln U-\ln\bigl(\log(\log3)\bigr)=\infty. Logo a integral diverge.

Passo 6

Pelo teste da integral, como
\int_{3}^{\infty}f(x)\,dx = \infty,
a série
\sum_{n=3}^{\infty}f(n)
diverge. Como retirar o termo n=2 (um termo isolado) não altera a convergência, a série original
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\log n\,\log(\log n)}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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