Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
Temos a série
O objetivo é aplicar o teste da integral. Para isso, definimos a função
e vamos verificar se ela satisfaz as condições (positividade e decrescimento) para usar o teste da integral em uma cauda da série, lembrando que retirar um número finito de termos não altera a convergência.
Passo 2
Para
temos
, logo
. Assim, em
,
Para ver que
é decrescente em
, note que
e, ao derivar, obtemos
Logo
e
é decrescente em
. Portanto, podemos aplicar o teste da integral à série a partir de
.
Passo 3
Escrevemos a integral imprópria correspondente:
Passo 4
Fazemos a primeira substituição
de modo que, quando
,
, e quando
,
. A integral vira
Passo 5
Fazemos a segunda substituição
de modo que, quando
,
, e quando
,
. A integral torna-se
Essa integral é
. Logo a integral diverge.
Passo 6
Pelo teste da integral, como
a série
diverge. Como retirar o termo
(um termo isolado) não altera a convergência, a série original
também diverge.
Resposta
A série diverge.