Escolha um vetor de maneira que o conjunto abaixo seja:
(a) Linearmente dependente
(b) Linearmente independente
Passo 1
O enunciado pede para escolher um vetor v4inR^4 de modo que o conjunto
,v1,v2,v3,v4
seja (a) linearmente dependente e (b) linearmente independente. O conteúdo usado é a definição de dependência linear (um vetor no span dos outros) e independência linear (nenhum vetor está no span dos demais).
Passo 2
Primeiro notamos que
são três vetores em
Isso gera o sistema
cuja única solução é tem dimensão 3 e seu span é um hiperplano de dimensão 3 em .
Passo 3
Para (a), basta escolher v4 dentro do span de v1,v2,v3. Por exemplo, definimos
v4=v1+v2+v3 =0+1+01+0+0-1-1+11+1+1 =11-13
Então claramente
v4-v1-v2-v3=0,
mostrando dependência linear.
Passo 4
Para (b), basta escolher
Se houvesse tais que
isto geraria o sistema
que leva a , e depois . Contradição. Logo é linearmente independente.