Escolha um vetor v4 de maneira que o conjunto abaixo seja:
(a) Linearmente dependente
(b) Linearmente independente
[r 0 1 -1 1 ],[r 1 0 -1 1 ],[l 0 0 1 1 ], v4

Passo 1

O enunciado pede para escolher um vetor v4inR^4 de modo que o conjunto
,v1,v2,v3,v4
seja (a) linearmente dependente e (b) linearmente independente. O conteúdo usado é a definição de dependência linear (um vetor no span dos outros) e independência linear (nenhum vetor está no span dos demais).

Passo 2

Primeiro notamos que
são três vetores em
Isso gera o sistema
cuja única solução é tem dimensão 3 e seu span é um hiperplano de dimensão 3 em .

Passo 3

Para (a), basta escolher v4 dentro do span de v1,v2,v3. Por exemplo, definimos
v4=v1+v2+v3 =0+1+01+0+0-1-1+11+1+1 =11-13
Então claramente
v4-v1-v2-v3=0,
mostrando dependência linear.

Passo 4

Para (b), basta escolher
Se houvesse tais que
isto geraria o sistema
que leva a , e depois . Contradição. Logo é linearmente independente.

Resposta

(a) v4=11-13
(b) v4=1000

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